Vekstfart i modellene – forklart steg for steg

Matematikk S2 · modul 6 · leksjon 6.3 · eksamen: del 2

Den deriverte av en vekstmodell sier hvor fort noe vokser eller avtar akkurat nå. Her lærer du å derivere modellen og tolke svaret med enhet.

Dette er leksjon 6.3 Vekstfart i modellene i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Den deriverte av modellen

Med kjerneregelen er den deriverte av N₀ · e opphøyd i ^kt lik N₀ · k · e opphøyd i ^kt. Faktoren k kommer fra kjernen kt.

Tolk med enhet

N(t) sier hvor stor modellen er. N'(t) sier hvor fort den endrer seg. Bland ikke de to.

1. N'(t) er endringen per tidsenhet på tidspunktet t.
2. Er N'(t) positiv, vokser modellen. Er den negativ, avtar den.
3. Skriv enheten: for eksempel individer per år eller gram per time.

Eksempler

Eksempel 1: en bestand som vokser

N(t) = 200 · e opphøyd i ^0,05t, der t er år. Finn N'(10) og tolk svaret.

200 · 0,05 = 10
10 · 0,05 = 0,5
10e opphøyd i ^0,5 ≈ 16,5

Svar: N'(t) = 10e opphøyd i ^0,05t, og N'(10) ≈ 16,5. Etter 10 år øker bestanden med omtrent 16,5 individer per år.

Eksempel 2: et stoff som avtar

M(t) = 1 000 · e opphøyd i ^−0,2t, der M er gram og t er timer. Finn M'(5) og tolk svaret.

1 000 · (−0,2) = −200
−0,2 · 5 = −1
−200e opphøyd i ⁻¹ ≈ −73,6

Svar: M'(5) ≈ −73,6. Etter 5 timer avtar stoffet med omtrent 73,6 gram per time.

Minustegnet betyr at mengden blir mindre.

Øv selv: 15 oppgaver i vekstmodeller med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å glemme faktoren k fra kjernen og skrive N'(t) = 200e opphøyd i ^0,05t.
• Å tolke N'(10) som størrelsen på bestanden. Størrelsen er N(10).
• Å glemme enheten, eller å skrive «per år» når t er i timer.

På eksamen

Vekstfart kommer på del 2, ofte som «finn N'(t) og forklar hva svaret betyr». Fra våren 2027 deriverer du for hånd og regner ut e-potensen på kalkulatoren. Skriv tolkningen som en hel setning med tid, tall og enhet.

Leksjonen hører til modulen Vekstmodeller og øves til del 2. Les mer om eksamen i S2, og bruk formelarket for S2 når du øver.

Begreper: vekstfart momentan vekstfart

Les også

• Eksponentiell vekst med e – forklart steg for steg
• Logistisk vekst og bæreevne
• Vekstmodeller: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i S2

Mer om matte S2

• Alle modulene i matte S2
• Eksamen i S2: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for S2: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for S2
• Begrepene i S2 forklart
• De 10 vanligste feilene i S2
• Temaer i S2 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i S2, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.