Eksponentiell vekst med e – forklart steg for steg

Matematikk S2 · modul 6 · leksjon 6.1 · eksamen: del 1 og del 2

Eksponentiell vekst kan skrives med tallet e. Her lærer du hva tallene i modellen betyr, og hvordan du finner doblingstid og halveringstid med ln.

Dette er leksjon 6.1 Eksponentiell vekst med e i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Modellen

N(t) = N₀ · e opphøyd i ^kt

N₀ er startverdien, når t = 0. k er vekstraten. Er k positiv, vokser modellen. Er k negativ, avtar den.

Dobling og halvering

Du tar ln på begge sider fordi ln er den motsatte funksjonen av e.

1. Doblingstid: sett e opphøyd i ^kt = 2. Da er t = ln 2 delt på k.
2. Halveringstid: sett e opphøyd i ^kt = 1 delt på 2. Da er t = ln 2 delt på k med k uten minustegnet.

Eksempler

Eksempel 1: doblingstid

N(t) = 200 · e opphøyd i ^0,05t. Finn doblingstiden.

200 · e opphøyd i ^0,05t = 400
e opphøyd i ^0,05t = 2
t = ln 2 delt på 0,05
t ≈ 13,9

Svar: Doblingstiden er omtrent 13,9 tidsenheter.

Det dobbelte av 200 er 400. Del på 200, ta ln på begge sider, og del på 0,05.

Eksempel 2: halveringstid

Et stoff avtar etter modellen N(t) = 500 · e opphøyd i ^−0,1t. Finn halveringstiden.

e opphøyd i ^−0,1t = 0,5
t = ln 2 delt på 0,1
t ≈ 6,93

Svar: Halveringstiden er omtrent 6,93 tidsenheter.

ln 1 delt på 2 = −ln 2, så minustegnene forsvinner.

Øv selv: 15 oppgaver i vekstmodeller med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å løse 200 · e opphøyd i ^0,05t = 2 i stedet for = 400. Doblingstiden er når verdien er blitt dobbelt så stor.
• Å gange ln 2 med 0,05 i stedet for å dele.
• Å blande k og N₀. N₀ er startverdien, og k står i eksponenten.

På eksamen

Vekstmodeller med e kommer på del 1 og del 2. Fra våren 2027 regner du ln og e på en enkel vitenskapelig kalkulator på del 2. Skriv likningen du løser, og svar med enhet, for eksempel år eller timer.

Leksjonen hører til modulen Vekstmodeller og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i S2, og bruk formelarket for S2 når du øver.

Begreper: eksponentiell vekst doblingstid halveringstid

Les også

• Logistisk vekst og bæreevne
• Vekstfart i modellene – forklart steg for steg
• Vekstmodeller: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i S2

Mer om matte S2

• Alle modulene i matte S2
• Eksamen i S2: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for S2: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for S2
• Begrepene i S2 forklart
• De 10 vanligste feilene i S2
• Temaer i S2 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i S2, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.