Hopp til innholdet

Vekstmodeller: oppgaver med fasit

Matematikk S2 · Vg3, samfunnsfaglig matematikk · 15 oppgaver · eksamen: del 1 og del 2

15 oppgaver i vekstmodeller i S2, med løsning steg for steg og fasit. Prøv selv først, og trykk «Vis løsning» når du vil sjekke svaret. Oppgavene er sortert fra kort til lang løsning.

Lær dette i Sophus: 6.1 Eksponentiell vekst med e, 6.2 Logistisk vekst, 6.3 Vekstfart i modellene i Matematikk S2, med video og øving med nye tall hver gang. Se leksjonen

Lettere oppgaver

Oppgave 1

N(t) = 1 000 delt på 1 + 19e opphøyd i −0,3t. Finn bæreevnen.

Vis løsning på oppgave 1

Når t blir stor, går e opphøyd i −0,3t mot 0, og N går mot 1 000.

Fasit: 1 000

Fra leksjon 6.2 Logistisk vekst · Se forklaringen i videoen

Oppgave 2

Hvor er veksten størst i en logistisk modell?

  1. A: Den er like stor hele tiden
  2. B: Helt i starten
  3. C: Ved bæreevnen
  4. D: Ved halve bæreevnen
Vis løsning på oppgave 2

Veksten er størst ved halve bæreevnen, der grafen er brattest.

Fasit: D: Ved halve bæreevnen

Fra leksjon 6.2 Logistisk vekst · Se forklaringen i videoen

Oppgave 3

N(t) er antall individer etter t år, og N'(5) = 30. Hva betyr det?

  1. A: Etter 5 år er det 30 individer
  2. B: Bestanden øker med 30 % per år
  3. C: Det tar 30 år før bestanden dobles
  4. D: Etter 5 år øker bestanden med omtrent 30 individer per år
Vis løsning på oppgave 3

N'(5) er vekstfarten etter 5 år, i individer per år.

Fasit: D: Etter 5 år øker bestanden med omtrent 30 individer per år

Fra leksjon 6.3 Vekstfart i modellene · Se forklaringen i videoen

Oppgave 4

N(t) = 200 · e opphøyd i 0,05t. Finn N(20). Rund av til hele tall.

Vis løsning på oppgave 4

N(20) = 200 · e opphøyd i 1 ≈ 544.

Fasit: 544

Fra leksjon 6.1 Eksponentiell vekst med e · Se forklaringen i videoen

Oppgave 5

N(t) = 150 · e opphøyd i 0,05t. Hvilken likning gir doblingstiden?

  1. A: 150 · e opphøyd i 0,05t = 300
  2. B: e opphøyd i 0,05t = 300
  3. C: 0,05t = 2
  4. D: 150 · e opphøyd i 0,05t = 2
Vis løsning på oppgave 5

Doblingstiden er når N(t) = 300, altså e opphøyd i 0,05t = 2.

Fasit: A: 150 · e opphøyd i 0,05t = 300

Fra leksjon 6.1 Eksponentiell vekst med e · Se forklaringen i videoen

Middels vanskelige

Oppgave 6

N(t) = 4 000 delt på 1 + 19e opphøyd i −0,5t. Finn startverdien.

Vis løsning på oppgave 6

N(0) = 4 000 delt på 1 + 19 = 200.

Fasit: 200

Fra leksjon 6.2 Logistisk vekst · Se forklaringen i videoen

Oppgave 7

Deriver N(t) = 500 · e opphøyd i 0,03t.

  1. A: 500 delt på 0,03e opphøyd i 0,03t
  2. B: 500 · 0,03t · e opphøyd i 0,03t − 1
  3. C: 500e opphøyd i 0,03t
  4. D: 15e opphøyd i 0,03t
Vis løsning på oppgave 7

N'(t) = 500 · 0,03 · e opphøyd i 0,03t = 15e opphøyd i 0,03t.

Fasit: D: 15e opphøyd i 0,03t

Fra leksjon 6.3 Vekstfart i modellene · Se forklaringen i videoen

Oppgave 8

N(t) = 100 · e opphøyd i 0,02t. Finn doblingstiden. Rund av til én desimal.

Vis løsning på oppgave 8

e opphøyd i 0,02t = 2 gir t = ln 2 delt på 0,02 ≈ 34,7.

Fasit: 34,7

Fra leksjon 6.1 Eksponentiell vekst med e · Se forklaringen i videoen

Oppgave 9

Et stoff avtar etter N(t) = 500 · e opphøyd i −0,1t. Finn halveringstiden. Rund av til én desimal.

Vis løsning på oppgave 9

e opphøyd i −0,1t = 1 delt på 2 gir t = ln 2 delt på 0,1 ≈ 6,9.

Fasit: 6,9

Fra leksjon 6.1 Eksponentiell vekst med e · Se forklaringen i videoen

Oppgave 10

N(t) = 80 · e opphøyd i 0,04t. Finn doblingstiden. Rund av til én desimal.

Vis løsning på oppgave 10

e opphøyd i 0,04t = 2 gir t = ln 2 delt på 0,04 ≈ 17,3.

Fasit: 17,3

Fra leksjon 6.1 Eksponentiell vekst med e · Se forklaringen i videoen

Mer krevende

Oppgave 11

N(t) = 600 delt på 1 + 5e opphøyd i −0,5t. Finn startverdien.

Vis løsning på oppgave 11

N(0) = 600 delt på 1 + 5 = 100.

Bæreevnen er 600.

Fasit: 100

Fra leksjon 6.2 Logistisk vekst · Se forklaringen i videoen

Oppgave 12

M(t) = 500 · e opphøyd i −0,2t, der M er gram og t er timer. Finn M'(5). Rund av til én desimal.

Vis løsning på oppgave 12

M'(t) = −100e opphøyd i −0,2t.

M'(5) ≈ −36,8 gram per time.

Fasit: −36,8

Fra leksjon 6.3 Vekstfart i modellene · Se forklaringen i videoen

Oppgave 13

N(t) = 1 000 delt på 1 + 9e opphøyd i −0,4t. Når er veksten størst? Rund av til én desimal.

Vis løsning på oppgave 13

N = 500 gir 9e opphøyd i −0,4t = 1, så t = ln 9 delt på 0,4 ≈ 5,5.

Fasit: 5,5

Fra leksjon 6.2 Logistisk vekst · Se forklaringen i videoen

Oppgave 14

N(t) = 400 · e opphøyd i 0,05t, der t er år. Finn N'(20). Rund av til én desimal.

Vis løsning på oppgave 14

N'(t) = 400 · 0,05 · e opphøyd i 0,05t.

N'(20) = 20e opphøyd i 1 ≈ 54,4.

Fasit: 54,4

Fra leksjon 6.3 Vekstfart i modellene · Se forklaringen i videoen

Oppgave 15

N(t) = 50e opphøyd i 0,1t, der t er år. Finn N'(20). Rund av til én desimal.

Vis løsning på oppgave 15

N'(t) = 5e opphøyd i 0,1t.

N'(20) = 5e² ≈ 36,9 individer per år.

Fasit: 36,9

Fra leksjon 6.3 Vekstfart i modellene · Se forklaringen i videoen

Fasit

Vis fasit til alle oppgavene
  1. Oppgave 1: 1 000
  2. Oppgave 2: D: Ved halve bæreevnen
  3. Oppgave 3: D: Etter 5 år øker bestanden med omtrent 30 individer per år
  4. Oppgave 4: 544
  5. Oppgave 5: A: 150 · e opphøyd i 0,05t = 300
  6. Oppgave 6: 200
  7. Oppgave 7: D: 15e opphøyd i 0,03t
  8. Oppgave 8: 34,7
  9. Oppgave 9: 6,9
  10. Oppgave 10: 17,3
  11. Oppgave 11: 100
  12. Oppgave 12: −36,8
  13. Oppgave 13: 5,5
  14. Oppgave 14: 54,4
  15. Oppgave 15: 36,9

Oppgavene hører til leksjonene 6.1–6.3 i modulen Vekstmodeller, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i S2, og bruk formelarket for S2 når du øver.

Les også

Oppgavene er laget av Sophus med de samme oppgavemalene som i kurset, og løsningene er kontrollert av en regnekontroll. Ser du likevel en feil, si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.