Uendelige geometriske rekker – forklart steg for steg
Kan en sum med uendelig mange ledd bli et vanlig tall? Ja, hvis leddene blir små nok. Her lærer du når en uendelig geometrisk rekke har en sum, og hvordan du regner den ut.
Dette er leksjon 1.4 Uendelige geometriske rekker i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen
En sum som nærmer seg et tall
Se på 12 + 6 + 3 + … Leddene halveres hver gang. Summene blir 12, 18, 21, 22,5 og så videre. De kommer nærmere og nærmere 24.
Når summen nærmer seg et tall, sier vi at rekken konvergerer. Ellers divergerer den.
12 + 6 = 18
18 + 3 = 21
21 + 1,5 = 22,5
Regelen
- Rekken konvergerer når −1 < k < 1.
- Da er summen S = a₁ delt på 1 − k.
- Er k større enn eller lik 1, eller mindre enn eller lik −1, finnes det ingen sum.
Eksempler
Eksempel 1: en rekke som halveres
Finn summen av den uendelige rekka 12 + 6 + 3 + …
6 delt på 12 = 1 delt på 2
12 delt på 1 − 0,5 = 12 delt på 0,5 = 24
Svar: Summen er 24.
k = 1 delt på 2 ligger mellom −1 og 1, så rekken konvergerer.
Eksempel 2: negativ kvotient
Finn summen av 20 − 10 + 5 − …
−10 delt på 20 = −0,5
20 delt på 1 − (−0,5) = 20 delt på 1,5 = 40 delt på 3
40 delt på 3 ≈ 13,3
Svar: Summen er 40 delt på 3, omtrent 13,3.
Fortegnet skifter fra ledd til ledd, men k = −0,5 ligger mellom −1 og 1. Pass på minustegnene i nevneren.
Øv selv: 15 oppgaver i geometriske rekker med fasit og løsning steg for steg.
Vanlige feil
- Å bruke formelen når rekken divergerer. 2 + 4 + 8 + … har k = 2, og formelen gir −2, som er meningsløst. Rekken har ingen sum.
- Å skrive a₁ delt på 1 + k i stedet for a₁ delt på 1 − k.
- Å glemme å sjekke at −1 < k < 1 før du regner. Skriv sjekken som en egen linje.
På eksamen
Uendelige rekker kommer ofte på del 1. Skriv alltid at rekken konvergerer og hvorfor, før du bruker sumformelen. Får du en rekke med en ukjent x i kvotienten, kan oppgaven spørre for hvilke x rekken konvergerer. Da løser du ulikheten −1 < k < 1.
Leksjonen hører til modulen Følger og rekker og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i S2, og bruk formelarket for S2 når du øver.
Begreper: konvergens divergens uendelig rekke
Les også
- Tallfølger og rekursive formler – forklart steg for steg
- Aritmetiske rekker – forklart steg for steg
- Geometriske rekker – forklart steg for steg
- Rekursjon med programmering – forklart steg for steg
- Geometriske rekker: oppgaver med fasit
- Prøv en gratis oppgave i S2
Mer om matte S2
- Alle modulene i matte S2
- Eksamen i S2: del 1, del 2 og hjelpemidler
- Eksamensguide for S2: oppgavetypene med eksempler
- Formelark for S2
- Begrepene i S2 forklart
- De 10 vanligste feilene i S2
- Temaer i S2 forklart med eksempler
- Oppgaver med fasit i S2, ordnet etter tema
Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.