Tallfølger og rekursive formler – forklart steg for steg

Matematikk S2 · modul 1 · leksjon 1.1 · eksamen: del 1, uten hjelpemidler

En tallfølge er tall i en bestemt rekkefølge. Her lærer du forskjellen på en rekursiv og en eksplisitt formel, og hvordan du finner et ledd langt ute i følgen.

Dette er leksjon 1.1 Tallfølger og rekursive formler i Sophus. I kurset har den video og øving, og den er gratis. Se leksjonen

Ledd og nummer

I følgen 5, 9, 13, 17, … kalles hvert tall et ledd. Det første leddet er a₁, det andre a₂, og ledd nummer n er aₙ.

Den lille n-en nede til høyre er nummeret på leddet, ikke verdien. Her er a₁ = 5 og a₄ = 17.

To typer formler

Begge typene beskriver følgen. Hvilken som passer best, kommer an på spørsmålet.

1. En rekursiv formel sier hvordan du finner et ledd fra leddet foran. Du må vite hvor følgen starter.
2. En eksplisitt formel regner ut aₙ rett fra nummeret n. Da kan du hoppe rett til ledd nummer 100.
3. Sjekk alltid formelen med de første leddene.

Eksempler

Eksempel 1: en rekursiv formel

En følge er gitt ved a₁ = 3 og aₙ = 2aₙ₋₁ + 1. Finn a₄.

2 · 3 + 1 = 7
2 · 7 + 1 = 15
2 · 15 + 1 = 31

Svar: a₂ = 7, a₃ = 15 og a₄ = 31.

aₙ₋₁ betyr leddet foran. Du finner leddene ett etter ett, og stopper når du har a₄.

Eksempel 2: en formel fra et mønster

Følgen er 5, 9, 13, 17, … Finn en eksplisitt formel, og bruk den til å finne a₂₀.

4 · 1 + 1 = 5
4 · 2 + 1 = 9
4 · 20 + 1 = 81

Svar: aₙ = 4n + 1, og a₂₀ = 81.

Følgen øker med 4 hver gang, så 4n står i formelen. For n = 1 gir 4n bare 4, men a₁ er 5. Derfor legger du til 1. De to første linjene sjekker formelen.

Øv selv: 15 oppgaver i tallfølger og aritmetiske rekker med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å bruke nummeret n i stedet for leddet foran. Med a₁ = 3 og aₙ = 2aₙ₋₁ + 1 er a₂ ikke 2 · 2 + 1 = 5, men 2 · 3 + 1 = 7.
• Å regne ett ledd for mye eller for lite. Spør oppgaven etter a₄, stopper du der.
• Å lage en formel som bare stemmer for det første leddet. Sjekk minst to ledd.

På eksamen

Tallfølger kommer på del 1 uten hjelpemidler. Skriv hvert ledd på en egen linje når du bruker en rekursiv formel, og vis at en eksplisitt formel stemmer med de første leddene. Følger er også grunnlaget for rekkene i resten av modulen.

Leksjonen hører til modulen Følger og rekker og øves til del 1, uten hjelpemidler. Les mer om eksamen i S2, og bruk formelarket for S2 når du øver.

Begreper: tallfølge ledd rekursiv formel eksplisitt formel

Les også

• Aritmetiske rekker – forklart steg for steg
• Geometriske rekker – forklart steg for steg
• Uendelige geometriske rekker – forklart steg for steg
• Rekursjon med programmering – forklart steg for steg
• Tallfølger og aritmetiske rekker: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i S2

Mer om matte S2

• Alle modulene i matte S2
• Eksamen i S2: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for S2: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for S2
• Begrepene i S2 forklart
• De 10 vanligste feilene i S2
• Temaer i S2 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i S2, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.