Aritmetiske rekker – forklart steg for steg

Matematikk S2 · modul 1 · leksjon 1.2 · eksamen: del 1 og del 2

I en aritmetisk følge øker leddene like mye hver gang. Legger du sammen leddene, får du en aritmetisk rekke. Her lærer du å finne antall ledd og summen.

Dette er leksjon 1.2 Aritmetiske rekker i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Like store hopp

Hoppet mellom to ledd kalles differansen d. I 5, 8, 11, … er d = 3. En rekke er en sum av ledd, og summen av de n første leddene kaller vi Sₙ.

Formlene

1. Ledd nummer n: aₙ = a₁ + (n − 1)d. Fra a₁ til aₙ er det n − 1 hopp.
2. Kjenner du det siste leddet, setter du formelen lik det og løser for n. Da får du antall ledd.
3. Summen: Sₙ = n(a₁ + aₙ) delt på 2, altså antall ledd ganger første pluss siste ledd, delt på 2.

Eksempler

Eksempel 1: summen opp til et ledd

Finn summen 5 + 8 + 11 + … + 50.

5 + 3(n − 1) = 50
3(n − 1) = 45
n = 16
16 · (5 + 50) delt på 2 = 16 · 55 delt på 2 = 440

Svar: Det er 16 ledd, og summen er 440.

Differansen er 3. Først finner du antall ledd, så bruker du sumformelen.

Eksempel 2: de 20 første leddene

Finn summen av de 20 første leddene i 4 + 10 + 16 + …

4 + 19 · 6 = 118
20 · (4 + 118) delt på 2 = 1 220

Svar: a₂₀ = 118, og S₂₀ = 1 220.

Her vet du at n = 20, men du mangler det siste leddet. Differansen er 6, så du finner a₂₀ først.

Øv selv: 15 oppgaver i tallfølger og aritmetiske rekker med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å telle hoppene i stedet for leddene. 50 − 5 delt på 3 = 15 er antall hopp. Det er alltid ett ledd mer, altså 16.
• Å glemme å dele på 2 i sumformelen. Da blir summen dobbelt så stor.
• Å bruke formelen for aritmetiske rekker når leddene ganges med det samme tallet. Da er rekken geometrisk.

På eksamen

Aritmetiske rekker kommer både på del 1 og del 2. På del 1 er tallene valgt så du kan regne i hodet. Skriv formelen, sett inn tallene og vis hvordan du fant antall ledd. På del 2 kan rekken være en del av en tekstoppgave om for eksempel sparing eller seter i en sal.

Leksjonen hører til modulen Følger og rekker og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i S2, og bruk formelarket for S2 når du øver.

Begreper: aritmetisk rekke differanse sum

Les også

• Tallfølger og rekursive formler – forklart steg for steg
• Geometriske rekker – forklart steg for steg
• Uendelige geometriske rekker – forklart steg for steg
• Rekursjon med programmering – forklart steg for steg
• Tallfølger og aritmetiske rekker: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i S2

Mer om matte S2

• Alle modulene i matte S2
• Eksamen i S2: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for S2: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for S2
• Begrepene i S2 forklart
• De 10 vanligste feilene i S2
• Temaer i S2 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i S2, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.