Vekstfart i modeller – forklart steg for steg
Den deriverte av en modell sier hvor fort noe endrer seg akkurat nå. Her lærer du å derivere vekstmodeller og å skrive tolkningen med riktig enhet.
Dette er leksjon 6.3 Vekstfart i modeller i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen
Deriver modellen
For N(t) = N₀ · e opphøyd i kt gir kjerneregelen N′(t) = N₀ · k · e opphøyd i kt. Tallet k fra eksponenten kommer ned som en faktor.
Tolk med enhet
N(t) er en mengde, for eksempel antall dyr. N′(t) er en vekstfart, for eksempel antall dyr per år. Skriv alltid hva svaret betyr i situasjonen.
Vekstfarten følger mengden
I en eksponentiell modell er N′(t) = k · N(t). Vekstfarten er altså proporsjonal med mengden: jo flere dyr det er, jo fortere øker bestanden. Det er derfor grafen blir brattere og brattere.
Du kan bruke det som en kontroll. For byen i eksempel 2 under er f(5) ≈ 26 997 og k = 0,06. Da skal f′(5) være omtrent 0,06 · 26 997:
20 000e opphøyd i 0,3 ≈ 26 997
0,06 · 26 997 ≈ 1 619,8
Eksempler
Eksempel 1: en dyrebestand
N(t) = 200e opphøyd i 0,05t er antall dyr etter t år. Finn N′(10) og tolk svaret.
N′(t) = 200 · 0,05 · e opphøyd i 0,05t = 10e opphøyd i 0,05t
N′(10) = 10e opphøyd i 0,5
10e opphøyd i 0,5 ≈ 16,5
Svar: Etter 10 år øker bestanden med omtrent 16,5 dyr per år.
Eksempel 2: en by
Folketallet er f(t) = 20 000e opphøyd i 0,06t etter t år. Finn f′(5).
f′(t) = 1 200e opphøyd i 0,06t
f′(5) = 1 200e opphøyd i 0,3
1 200e opphøyd i 0,3 ≈ 1 619,8
Svar: Etter 5 år vokser folketallet med omtrent 1 620 innbyggere per år.
20 000 · 0,06 = 1 200. Svaret er rundet til hele innbyggere.
Øv selv: 15 oppgaver i vekstmodeller med fasit og løsning steg for steg.
Vanlige feil
- Å tolke N′(10) som antall dyr. Det er hvor mange dyr bestanden øker med per år.
- Å glemme den deriverte av kjernen, 0,05.
- Å skrive svaret uten enhet.
På eksamen
Vekstfart i modeller kommer på del 2. Fra våren 2027 deriverer du for hånd og regner ut verdien med kalkulatoren. Sensor ser etter tolkningen: skriv en hel setning med tid, tall og enhet.
Leksjonen hører til modulen Vekstmodeller og øves til del 2. Les mer om eksamen i R1, og bruk formelarket for R1 når du øver.
Les også
- Eksponentiell vekst og nedgang – forklart steg for steg
- Logistisk vekst – forklart steg for steg
- Vekstmodeller: oppgaver med fasit
- Prøv en gratis oppgave i R1
Mer om matte R1
- Alle modulene i matte R1
- Eksamen i R1: del 1, del 2 og hjelpemidler
- Eksamensguide for R1: oppgavetypene med eksempler
- Formelark for R1
- Begrepene i R1 forklart
- De 10 vanligste feilene i R1
- Temaer i R1 forklart med eksempler
- Oppgaver med fasit i R1, ordnet etter tema
Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.