Eksponentiell vekst og nedgang – forklart steg for steg
Når noe vokser eller minker med samme prosent hele tiden, kan modellen skrives N(t) = N₀ · e opphøyd i kt. Her lærer du å bruke modellen, og å finne doblingstid og halveringstid.
Dette er leksjon 6.1 Eksponentiell vekst og nedgang i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen
Modellen
N(t) = N₀ · e opphøyd i kt
N₀ er startverdien. Er k positiv, vokser N. Er k negativ, minker N. En modell med vekstfaktor, som 2 000 · 1,05ᵗ, kan skrives om, fordi 1,05 = e opphøyd i ln 1,05.
ln 1,05 ≈ 0,0488
2 000 · 1,05⁸ ≈ 2 954,9
Doblingstid og halveringstid
Doblingstiden er tiden det tar før N er dobbelt så stor som N₀. Halveringstiden er tiden det tar før N er halvparten. Du setter opp en likning og bruker ln på begge sider.
Eksempler
Eksempel 1: halveringstid
Mengden av et stoff er M(t) = 80 · e opphøyd i −0,1t. Finn halveringstiden.
80 · e opphøyd i −0,1t = 40
e opphøyd i −0,1t = 1 delt på 2
−0,1t = −ln 2
t = ln 2 delt på 0,1
t ≈ 6,9
Svar: Halveringstiden er omtrent 6,9 tidsenheter.
Halvparten av 80 er 40. Del på 80, ta ln på begge sider, og bruk at ln 1 delt på 2 = −ln 2.
Eksempel 2: doblingstid
En bestand er N(t) = 500 · e opphøyd i 0,04t. Hvor lang tid tar det før den er doblet?
500 · e opphøyd i 0,04t = 1 000
e opphøyd i 0,04t = 2
t = ln 2 delt på 0,04
t ≈ 17,3
Svar: Doblingstiden er omtrent 17,3 tidsenheter.
Øv selv: 15 oppgaver i vekstmodeller med fasit og løsning steg for steg.
Vanlige feil
- Å sette M(t) = 0 for å finne halveringstiden. Du skal sette M(t) lik halvparten av startverdien.
- Å glemme minustegnet foran 0,1.
- Å ta ln av hvert ledd før du har fått e-potensen alene.
På eksamen
Vekstmodeller kommer på del 2. Fra våren 2027 har du ikke datamaskin, men en enkel vitenskapelig kalkulator med ln og eˣ. Skriv likningen, løs den for hånd til et uttrykk som ln 2 delt på 0,1, og regn ut tallet til slutt. Svar med enhet.
Leksjonen hører til modulen Vekstmodeller og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R1, og bruk formelarket for R1 når du øver.
Begreper: eksponentiell vekst halveringstid doblingstid
Les også
- Logistisk vekst – forklart steg for steg
- Vekstfart i modeller – forklart steg for steg
- Vekstmodeller: oppgaver med fasit
- Prøv en gratis oppgave i R1
Mer om matte R1
- Alle modulene i matte R1
- Eksamen i R1: del 1, del 2 og hjelpemidler
- Eksamensguide for R1: oppgavetypene med eksempler
- Formelark for R1
- Begrepene i R1 forklart
- De 10 vanligste feilene i R1
- Temaer i R1 forklart med eksempler
- Oppgaver med fasit i R1, ordnet etter tema
Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.