Logistisk vekst – forklart steg for steg

Matematikk R1 · modul 6 · leksjon 6.2 · eksamen: del 1 og del 2

Logistisk vekst starter nesten eksponentielt, men flater ut mot et tak. Her lærer du å finne startverdien og bæreevnen, og når veksten går raskest.

Dette er leksjon 6.2 Logistisk vekst i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Modellen

N(t) = B delt på 1 + a · e opphøyd i ^−kt

B er bæreevnen, taket bestanden nærmer seg. Når t blir stor, går e opphøyd i ^−kt mot 0, og N(t) går mot B.

Vendepunktet

Veksten er størst når N er halvparten av bæreevnen. Der har grafen et vendepunkt. Du finner tidspunktet ved å sette N(t) = B delt på 2 og løse med ln.

Eksempler

Eksempel 1: startverdi og bæreevne

N(t) = 1000 delt på 1 + 9e opphøyd i ^−0,5t. Finn N(0) og bæreevnen.

1000 delt på 1 + 9 · e opphøyd i ⁰ = 100
1000 delt på 1 + 0 = 1 000

Svar: N(0) = 100, og bæreevnen er 1000.

e⁰ = 1, så nevneren blir 1 + 9 = 10 når t = 0. Når t blir stor, blir nevneren nesten 1.

Eksempel 2: når er veksten størst?

f(t) = 600 delt på 1 + 5e opphøyd i ^−0,4t. Når er veksten størst?

600 delt på 1 + 5e opphøyd i ^−0,4t = 300
5e opphøyd i ^−0,4t = 1
t = ln 5 delt på 0,4
t ≈ 4,02

Svar: Veksten er størst etter omtrent 4,02 tidsenheter, når f = 300.

300 er halvparten av bæreevnen 600. Nevneren må da være 2.

Øv selv: 15 oppgaver i vekstmodeller med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å tro at bæreevnen er 9. Bæreevnen er telleren.
• Å tro at e⁰ = 0, og få N(0) = 1 000 i stedet for 100.
• Å tro at veksten er størst ved starten. Den er størst ved halvparten av bæreevnen.

På eksamen

Logistiske modeller kommer på del 2. Oppgaven gir som regel modellen, og spør etter startverdi, bæreevne, når en verdi nås, og når veksten er størst. Løs likningene for hånd med ln, og tolk svarene i situasjonen.

Leksjonen hører til modulen Vekstmodeller og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R1, og bruk formelarket for R1 når du øver.

Begreper: logistisk vekst bæreevne

Les også

• Eksponentiell vekst og nedgang – forklart steg for steg
• Vekstfart i modeller – forklart steg for steg
• Vekstmodeller: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i R1

Mer om matte R1

• Alle modulene i matte R1
• Eksamen i R1: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for R1: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for R1
• Begrepene i R1 forklart
• De 10 vanligste feilene i R1
• Temaer i R1 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i R1, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.