Vekstmodeller: oppgaver med fasit
15 oppgaver i vekstmodeller i R1, med løsning steg for steg og fasit. Prøv selv først, og trykk «Vis løsning» når du vil sjekke svaret. Oppgavene er sortert fra kort til lang løsning.
Lær dette i Sophus: 6.1 Eksponentiell vekst og nedgang, 6.2 Logistisk vekst, 6.3 Vekstfart i modeller i Matematikk R1, med video og øving med nye tall hver gang. Se leksjonen
Lettere oppgaver
Oppgave 1
Finn bæreevnen.
f(t) = 600 delt på 1 + 3e opphøyd i −0,3t
Vis løsning på oppgave 1
Når t blir stor, går e opphøyd i −0,3t mot 0, og nevneren går mot 1.
Da går f(t) mot 600.
Fasit: 600
Oppgave 2
Hvor stor er f(t) når veksten er størst?
f(t) = 1 000 delt på 1 + 9e opphøyd i −0,4t
Vis løsning på oppgave 2
Da er veksten størst når f(t) er halvparten av bæreevnen: 1 000 delt på 2 = 500.
Fasit: 500
Oppgave 3
V(t) er verdien av et fond i tusen kroner etter t år, og V′(6) ≈ 4. Hva betyr det?
- A: Etter 6 år er fondet verdt omtrent 4 tusen kroner
- B: Etter 6 år øker verdien med omtrent 4 tusen kroner per år
- C: Etter 4 år er fondet verdt 6 tusen kroner
- D: Verdien øker med 4 % per år
Vis løsning på oppgave 3
Den deriverte er en vekstfart med enheten tusen kroner per år.
Etter 6 år øker verdien med omtrent 4 tusen kroner per år.
Fasit: B: Etter 6 år øker verdien med omtrent 4 tusen kroner per år
Fra leksjon 6.3 Vekstfart i modeller · Se forklaringen i videoen
Oppgave 4
En størrelse øker med 20 % per år. Hva er vekstfaktoren?
Vis løsning på oppgave 4
Da er k = 1 + 20 delt på 100 = 1,2.
Fasit: 1,2
Fra leksjon 6.1 Eksponentiell vekst og nedgang · Se forklaringen i videoen
Oppgave 5
Deriver modellen.
f(t) = 1 000e opphøyd i 0,06t
- A: f′(t) = 60t · e opphøyd i 0,06t − 1
- B: f′(t) = 60e opphøyd i 0,06t
- C: f′(t) = 0,06e opphøyd i 0,06t
- D: f′(t) = 1 000e opphøyd i 0,06t
Vis løsning på oppgave 5
Kjernen er 0,06t, med derivert 0,06. f′(t) = 1 000 · 0,06 · e opphøyd i 0,06t = 60e opphøyd i 0,06t.
Fasit: B: f′(t) = 60e opphøyd i 0,06t
Fra leksjon 6.3 Vekstfart i modeller · Se forklaringen i videoen
Middels vanskelige
Oppgave 6
En logistisk modell vokser mot en bæreevne. Når vokser den raskest?
- A: Når f(t) er lik bæreevnen
- B: Der f′(t) = 0
- C: Der f″(t) = 0, når f(t) er halvparten av bæreevnen
- D: Ved starten, når t = 0
Vis løsning på oppgave 6
Da er veksten størst der f′ er størst.
Der er f″(t) = 0, og grafen har et vendepunkt ved halvparten av bæreevnen.
Fasit: C: Der f″(t) = 0, når f(t) er halvparten av bæreevnen
Fra leksjon 6.3 Vekstfart i modeller · Se forklaringen i videoen
Oppgave 7
En størrelse er 500 i dag og minker med 8 % per år. Hvor stor er den om 6 år? Rund av til et helt tall.
Vis løsning på oppgave 7
Vekstfaktoren er k = 0,92, så f(6) = 500 · 0,92⁶ ≈ 303.
Fasit: 303
Fra leksjon 6.1 Eksponentiell vekst og nedgang · Se forklaringen i videoen
Oppgave 8
Modellen f(t) = 2 000 · 1,08ᵗ skal skrives som f(t) = 2 000 · e opphøyd i ct. Finn c med tre desimaler.
Vis løsning på oppgave 8
Da er c = ln 1,08 ≈ 0,077.
Modellen blir 2 000 · e opphøyd i 0,077t.
Fasit: 0,077
Fra leksjon 6.1 Eksponentiell vekst og nedgang · Se forklaringen i videoen
Oppgave 9
Et fond følger modellen f(t) = a · e opphøyd i 0,05t. Nå er fondet verdt 2 500 kroner. Hvor fort vokser det nå, i kroner per år?
Vis løsning på oppgave 9
Da er f′(t) = c · f(t) = 0,05 · 2 500 = 125 kroner per år.
Fasit: 125 kr per år
Fra leksjon 6.3 Vekstfart i modeller · Se forklaringen i videoen
Oppgave 10
Finn startverdien f(0).
f(t) = 1 000 delt på 1 + 19e opphøyd i −0,3t
Vis løsning på oppgave 10
f(0) = 1 000 delt på 1 + 19 · e⁰ = 1 000 delt på 1 + 19 = 1 000 delt på 20 = 50.
Fasit: 50
Mer krevende
Oppgave 11
Når er veksten størst? Svar med én desimal.
f(t) = 1 000 delt på 1 + 5e opphøyd i −0,2t
Vis løsning på oppgave 11
Veksten er størst når f(t) = 1 000 delt på 2 = 500.
Det skjer når t = ln 5 delt på 0,2 ≈ 8,0.
Fasit: 8,0
Oppgave 12
En logistisk modell f(t) = 600 delt på 1 + a · e opphøyd i −0,2t starter på f(0) = 100. Finn a.
Vis løsning på oppgave 12
f(0) = 600 delt på 1 + a = 100, så 1 + a = 600 delt på 100 = 6 og a = 5.
Fasit: 5
Oppgave 13
Antall dyr etter t år er N(t) = 300e opphøyd i 0,08t. Finn N′(5). Svar med én desimal.
Vis løsning på oppgave 13
N′(t) = 300 · 0,08 · e opphøyd i 0,08t = 24e opphøyd i 0,08t.
N′(5) = 24e opphøyd i 0,4 ≈ 35,8 dyr per år.
Fasit: 35,8
Fra leksjon 6.3 Vekstfart i modeller · Se forklaringen i videoen
Oppgave 14
Mengden av et stoff er M(t) = 80 · e opphøyd i −0,15t. Finn halveringstiden. Svar med én desimal.
Vis løsning på oppgave 14
80 · e opphøyd i −0,15t = 40.
Del på 80: e opphøyd i −0,15t = 1 delt på 2.
Ta ln: −0,15t = −ln 2, så t = ln 2 delt på 0,15 ≈ 4,6.
Fasit: 4,6
Fra leksjon 6.1 Eksponentiell vekst og nedgang · Se forklaringen i videoen
Oppgave 15
En bestand er f(t) = 5 000 · 1,08ᵗ etter t år. Finn doblingstiden. Svar med én desimal.
Vis løsning på oppgave 15
c = ln 1,08 ≈ 0,077.
5 000 · e opphøyd i ct = 10 000 gir e opphøyd i ct = 2, så t = ln 2 delt på ln 1,08 ≈ 9,0 år.
Fasit: 9,0
Fra leksjon 6.1 Eksponentiell vekst og nedgang · Se forklaringen i videoen
Fasit
Vis fasit til alle oppgavene
- Oppgave 1: 600
- Oppgave 2: 500
- Oppgave 3: B: Etter 6 år øker verdien med omtrent 4 tusen kroner per år
- Oppgave 4: 1,2
- Oppgave 5: B: f′(t) = 60e opphøyd i 0,06t
- Oppgave 6: C: Der f″(t) = 0, når f(t) er halvparten av bæreevnen
- Oppgave 7: 303
- Oppgave 8: 0,077
- Oppgave 9: 125 kr per år
- Oppgave 10: 50
- Oppgave 11: 8,0
- Oppgave 12: 5
- Oppgave 13: 35,8
- Oppgave 14: 4,6
- Oppgave 15: 9,0
Oppgavene hører til leksjonene 6.1–6.3 i modulen Vekstmodeller, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R1, og bruk formelarket for R1 når du øver.
Les også
- Eksponentiell vekst og nedgang – forklart steg for steg
- Logistisk vekst – forklart steg for steg
- Vekstfart i modeller – forklart steg for steg
- Vektorer: oppgaver med fasit
- Optimering: oppgaver med fasit
- Alle oppgavene i R1
- Begrepene i R1 forklart
Oppgavene er laget av Sophus med de samme oppgavemalene som i kurset, og løsningene er kontrollert av en regnekontroll. Ser du likevel en feil, si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.