Fart og akselerasjon – forklart steg for steg

Matematikk R1 · modul 8 · leksjon 8.3 · eksamen: del 1 og del 2

Når et punkt beveger seg, kan posisjonen skrives som en vektor r(t). Her lærer du å derivere den for å finne fart og akselerasjon.

Dette er leksjon 8.3 Fart og akselerasjon i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Tre størrelser

1. Fartsvektoren v(t) = r′(t). Du deriverer hver koordinat for seg.
2. Banefarten er lengden av fartsvektoren, |v(t)|.
3. Akselerasjonen a(t) = v′(t).

Et eksempel

r(t) = [3t, t²] gir v(t) = [3, 2t]. Når t = 2, er v = [3, 4], og banefarten er √(9 + 16) = 5. Akselerasjonen er a(t) = [0, 2].

2 · 2 = 4
√(3² + 4²) = √25 = 5

Hvorfor deriverer vi?

Fart er hvor fort posisjonen endrer seg, altså den deriverte av posisjonen. Akselerasjon er hvor fort farten endrer seg, altså den deriverte av farten.

Fartsvektoren peker i den retningen punktet beveger seg, og den er tangent til banen. Har r(t) enheten meter og t sekunder, får farten enheten m/s og akselerasjonen m/s².

Eksempler

Eksempel 1: banefart

r(t) = [2t, 5t − t²]. Finn farten når t = 1.

5 − 2 · 1 = 3
√(2² + 3²) = √13
√13 ≈ 3,6

Svar: v(1) = [2, 3], og farten er √13 ≈ 3,6.

v(t) = [2, 5 − 2t]. Den første koordinaten er 2 hele tiden.

Eksempel 2: en til

r(t) = [8t, t²]. Finn banefarten når t = 3.

2 · 3 = 6
√(8² + 6²) = √100 = 10

Svar: v(3) = [8, 6], og banefarten er 10.

Øv selv: 15 oppgaver i fart og akselerasjon med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å oppgi fartsvektoren når oppgaven spør etter banefarten.
• Å derivere bare den ene koordinaten.
• Å glemme enheten, for eksempel m/s for fart og m/s² for akselerasjon.

På eksamen

Fart og akselerasjon kommer på del 1 og del 2. Skriv v(t) og a(t) på egne linjer, og les nøye om oppgaven spør etter vektoren eller lengden. Svar med enhet når oppgaven har det.

Leksjonen hører til modulen Parameterframstilling og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R1, og bruk formelarket for R1 når du øver.

Begreper: posisjonsvektor fartsvektor banefart akselerasjon

Les også

• Parameterframstilling for en linje
• Skjæringspunkter – forklart steg for steg
• Kast og bevegelse i fysikk – forklart steg for steg
• Fart og akselerasjon: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i R1

Mer om matte R1

• Alle modulene i matte R1
• Eksamen i R1: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for R1: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for R1
• Begrepene i R1 forklart
• De 10 vanligste feilene i R1
• Temaer i R1 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i R1, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.