Hopp til innholdet

Hypergeometrisk fordeling: trekning uten tilbakelegging

Matematikk S1 · Vg2, samfunnsfaglig matematikk · eksamen: del 1 og del 2

Hypergeometrisk fordeling brukes når du trekker uten å legge tilbake, fra en mengde som består av to grupper, for eksempel gode og råtne epler, eller jenter og gutter i en klasse.

Lær dette i Sophus: 8.3 Hypergeometrisk fordeling i Matematikk S1, med video og øving. Se leksjonen

Når er det hypergeometrisk?

Fordi du ikke legger tilbake, endres sannsynligheten for hver trekning. Det er forskjellen fra binomisk fordeling.

Formelen

P(X = k) = C(M, k) · C(N − M, n − k) delt på C(N, n)

Nevneren er alle måtene å trekke n av N på. Telleren er måtene å trekke k av de M med egenskapen og resten, n − k, av de andre. Forventningen er E(X) = n · M delt på N.

Binomisk eller hypergeometrisk?

Trekker du uten tilbakelegging, er fordelingen hypergeometrisk. Er mengden stor og utvalget lite, for eksempel 10 personer av 100 000, endres sannsynligheten nesten ikke, og binomisk fordeling gir nesten samme svar. Er utvalget en stor del av mengden, som 5 av 30 elever, blir forskjellen tydelig, og du må bruke den hypergeometriske.

Eksempler

Eksempel 1: nøyaktig ett råttent eple

En pose har 7 gode og 3 råtne epler. Du tar 4 tilfeldig. Hva er sannsynligheten for nøyaktig 1 råttent eple?

Gunstige: C(3, 1) · C(7, 3) = 3 · 35 = 105

Mulige: C(10, 4) = 210

P(X = 1) = 105 delt på 210 = 0,5

Søylediagram for X fra 0 til 3. Søylene er omtrent 0,17 for 0, 0,5 for 1, som er rosa, 0,3 for 2 og 0,03 for 3.0,00,10,20,30,40,50,60,16670,50,30,03330123råtne epler
Antall råtne epler X når du tar 4 av 10 epler, der 3 er råtne. Søylen for X = 1 (rosa) er 0,5. Søylene summerer seg til 1, og forventningen er E(X) = 1,2.

Eksempel 2: minst ett råttent eple

Det er raskest å regne ut komplementet: ingen råtne betyr at alle 4 er gode.

P(X = 0) = C(7, 4) delt på C(10, 4) = 35 delt på 210 = 1 delt på 6

P(X ≥ 1) = 1 − 1 delt på 6 = 5 delt på 6 ≈ 0,833

Forventet antall råtne epler er E(X) = 4 · 3 delt på 10 = 1,2.

Eksempel 3: komité i en klasse

En klasse har 30 elever, og 12 av dem er jenter. Det trekkes en komité på 5. Hva er sannsynligheten for nøyaktig 2 jenter?

P(X = 2) = C(12, 2) · C(18, 3) delt på C(30, 5) = 66 · 816 delt på 142 506 ≈ 0,3779

Hadde du brukt binomisk fordeling med p = 0,4, ville du fått C(5, 2) · 0,42 · 0,63 = 10 · 0,16 · 0,216 = 0,3456. Utvalget er en stor del av klassen, så det binomiske svaret blir for unøyaktig.

Øv selv: 15 oppgaver i hypergeometrisk fordeling med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

På eksamen

Hypergeometrisk fordeling kommer på del 1 og del 2 i S1. Ofte skal du først avgjøre om situasjonen er binomisk eller hypergeometrisk, og begrunne det. På del 1 er tallene små nok til at du regner binomialkoeffisientene for hånd, som i eksempel 1. Fra våren 2027 har du ikke sannsynlighetskalkulator på del 2, så summer som P(X ≤ 2) regner du ledd for ledd med nCr på den enkle kalkulatoren, eller med komplementet. Skriv hva X er, og hva N, M og n er, før du regner.

I kurset hører temaet til leksjon 8.3 i modulen Binomisk og hypergeometrisk fordeling, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i S1, og bruk formelarket for S1 når du øver.

Spørsmål og svar

Når bruker jeg hypergeometrisk fordeling?

Når du trekker uten tilbakelegging fra en mengde med to grupper, og vil finne sannsynligheten for et bestemt antall fra den ene gruppen.

Hva er formelen for hypergeometrisk fordeling?

P(X = k) = C(M, k) · C(N − M, n − k) / C(N, n), der N er hele mengden, M er de med egenskapen og n er hvor mange du trekker.

Hva er forskjellen på binomisk og hypergeometrisk fordeling?

Binomisk fordeling har samme sannsynlighet i hvert forsøk, som ved trekning med tilbakelegging. Hypergeometrisk fordeling er trekning uten tilbakelegging, der sannsynligheten endres for hver trekning.

Les også

Mer om matte S1

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.