Kombinatorikk: ordnede og uordnede utvalg

Matematikk S1 · Vg2, samfunnsfaglig matematikk · eksamen: del 1 og del 2

Kombinatorikk handler om å telle hvor mange muligheter det finnes, uten å skrive opp alle. Det viktigste er å stille to spørsmål: betyr rekkefølgen noe, og kan det samme velges flere ganger?

Lær dette i Sophus: 6.4 Ordnet eller uordnet? i Matematikk S1, med video og øving. Se leksjonen

Multiplikasjonsprinsippet

Skal du gjøre flere valg etter hverandre, ganger du antall muligheter i hvert valg. Har du 3 gensere og 4 bukser, kan du kle deg på 3 · 4 = 12 måter. Alle tellereglene under bygger på dette.

To spørsmål avgjør regelen

Betyr rekkefølgen noe? Gull, sølv og bronse er tre ulike plasser, så rekkefølgen betyr noe. En komité på tre er den samme uansett hvem du valgte først, så der betyr rekkefølgen ingenting.
Er det tilbakelegging? Kan det samme velges igjen, som sifrene i en kode, er det med tilbakelegging. Kan hver person bare velges én gang, er det uten.

De tre tellereglene

Ordnet, med tilbakelegging: n^r

Ordnet, uten tilbakelegging: n · (n − 1) · … · (n − r + 1)

Uordnet, uten tilbakelegging: C(n, r) = n · (n − 1) · … · (n − r + 1) delt på r!

Her er n hvor mange du velger blant, og r hvor mange du velger. Fakultet betyr r! = r · (r − 1) · … · 1, for eksempel 3! = 6. I et uordnet utvalg deler du på r! fordi hver gruppe ellers blir telt én gang for hver rekkefølge den kan stå i. C(n, r) kalles binomialkoeffisienten. På kalkulatoren heter den nCr, og det ordnede utvalget heter nPr.

Eksempler

Eksempel 1: ordnet utvalg uten tilbakelegging

8 løpere er i en finale. På hvor mange måter kan gull, sølv og bronse deles ut?

Rekkefølgen betyr noe, og samme løper kan ikke vinne to medaljer.

8 · 7 · 6 = 336

Det finnes 336 mulige pallplasseringer.

Eksempel 2: uordnet utvalg

På hvor mange måter kan du velge 3 elever av 8 til en komité?

Nå betyr ikke rekkefølgen noe. Hver komité ble telt 3! = 6 ganger i eksempel 1, så du deler på 6.

C(8, 3) = 8 · 7 · 6 delt på 3 · 2 · 1 = 336 delt på 6 = 56

Det finnes 56 mulige komiteer. På kalkulatoren er det 8 nCr 3.

Tre måter å velge 3 av 8 på. Med tilbakelegging og rekkefølge: 8³ = 512. Uten tilbakelegging, med rekkefølge: 8 · 7 · 6 = 336. Uten rekkefølge: 336 / 3! = 56.

Eksempel 3: kode med og uten gjentatte sifre

En kode har fire sifre fra 0 til 9. Hvor mange koder finnes hvis sifre kan gjentas, og hvor mange hvis alle sifrene må være ulike?

Med gjentak: 10 · 10 · 10 · 10 = 10⁴ = 10 000

Uten gjentak: 10 · 9 · 8 · 7 = 5 040

Rekkefølgen betyr noe i begge tilfellene, fordi 1234 og 4321 er ulike koder.

Øv selv: 15 oppgaver i uordnede utvalg med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

Å bruke nCr når rekkefølgen betyr noe, for eksempel ved plasser, roller eller koder.
Å regne 8³ når samme person ikke kan velges flere ganger. Da er det 8 · 7 · 6.
Å dele på r i stedet for r! i et uordnet utvalg.
Å glemme at sifre i en kode kan gjentas, og regne 10 · 9 · 8 · 7 når oppgaven tillater gjentak.

På eksamen

Kombinatorikk kommer på del 1 og del 2 i S1, ofte som første del av en sannsynlighetsoppgave. På del 1 regner du små binomialkoeffisienter for hånd, som C(8, 3) = 56. Fra våren 2027 er del 2 uten datamaskin, men med en enkel vitenskapelig kalkulator. De fleste slike kalkulatorer har tastene nCr og nPr, men Udir krever dem ikke, så sjekk din. Mangler kalkulatoren tastene, regner du som på del 1. Skriv alltid med ord om rekkefølgen betyr noe og om det er tilbakelegging, så sensor ser hvorfor du valgte regelen.

I kurset hører temaet til leksjon 6.4 i modulen Kombinatorikk, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i S1, og bruk formelarket for S1 når du øver.

Spørsmål og svar

Hva er forskjellen på ordnet og uordnet utvalg?

I et ordnet utvalg betyr rekkefølgen noe, for eksempel gull, sølv og bronse. I et uordnet utvalg betyr den ingenting, for eksempel hvem som sitter i en komité.

Når bruker jeg nCr?

Når du velger r av n uten tilbakelegging, og rekkefølgen ikke betyr noe. C(n, r) = n · (n − 1) · … · (n − r + 1) / r!, og på kalkulatoren heter den nCr.

Hva betyr fakultet?

r! er produktet av alle heltall fra 1 til r. For eksempel er 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24.

Les også

Mer om matte S1

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.