Hopp til innholdet

Kjerneregelen og produktregelen: oppgaver med fasit

Matematikk R1 · Vg2, realfagsmatematikk · 15 oppgaver · eksamen: del 1 og del 2

15 oppgaver i kjerneregelen og produktregelen i R1, med løsning steg for steg og fasit. Prøv selv først, og trykk «Vis løsning» når du vil sjekke svaret. Oppgavene er sortert fra kort til lang løsning.

Lær dette i Sophus: 4.3 Kjerneregelen, 4.4 Produktregelen, 4.5 Brøkregelen i Matematikk R1, med video og øving med nye tall hver gang. Se leksjonen

Lettere oppgaver

Oppgave 1

Hva er kjernen u?

f(x) = e opphøyd i x² + 1

  1. A: u = 2x
  2. B: u = e opphøyd i x² + 1
  3. C: u = eˣ
  4. D: u = x² + 1
Vis løsning på oppgave 1

Kjernen er det som står i eksponenten: u = x² + 1.

Fasit: D: u = x² + 1

Fra leksjon 4.3 Kjerneregelen · Se forklaringen i videoen

Oppgave 2

Du deriverer f(x) = u delt på v med brøkregelen. Hva står i telleren?

  1. A: u′ · v − u · v′
  2. B: u′ · v′
  3. C: u · v′ − u′ · v
  4. D: u′ · v + u · v′
Vis løsning på oppgave 2

Brøkregelen: (u delt på v)′ = u′ · v − u · v′ delt på v².

Telleren starter alltid med u′ · v.

Fasit: A: u′ · v − u · v′

Fra leksjon 4.5 Brøkregelen · Se forklaringen i videoen

Oppgave 3

Deriver og faktoriser.

f(x) = x² · ln x

  1. A: f′(x) = x
  2. B: f′(x) = 2
  3. C: f′(x) = x(2 ln x + 1)
  4. D: f′(x) = 2x ln x
Vis løsning på oppgave 3

f′(x) = 2x · ln x + x² · 1 delt på x = 2x ln x + x = x(2 ln x + 1).

Fasit: C: f′(x) = x(2 ln x + 1)

Fra leksjon 4.4 Produktregelen · Se forklaringen i videoen

Oppgave 4

Deriver.

f(x) = (5x − 1)⁶

  1. A: f′(x) = 6 · 5⁵
  2. B: f′(x) = 30(5x − 1)⁶
  3. C: f′(x) = 6(5x − 1)⁵
  4. D: f′(x) = 30(5x − 1)⁵
Vis løsning på oppgave 4

u = 5x − 1 og u′ = 5.

6(5x − 1)⁵ · 5 = 30(5x − 1)⁵.

Fasit: D: f′(x) = 30(5x − 1)⁵

Fra leksjon 4.3 Kjerneregelen · Se forklaringen i videoen

Oppgave 5

Deriver.

f(x) = e opphøyd i 3x

  1. A: f′(x) = 3x · e opphøyd i 3x − 1
  2. B: f′(x) = 3e opphøyd i 3x
  3. C: f′(x) = 3eˣ
  4. D: f′(x) = e opphøyd i 3x
Vis løsning på oppgave 5

u = 3x og u′ = 3.

e opphøyd i 3x · 3 = 3e opphøyd i 3x.

Fasit: B: f′(x) = 3e opphøyd i 3x

Fra leksjon 4.3 Kjerneregelen · Se forklaringen i videoen

Middels vanskelige

Oppgave 6

Deriver.

f(x) = ln(6x − 5)

  1. A: f′(x) = 6 delt på x
  2. B: f′(x) = 6 delt på 6x − 5
  3. C: f′(x) = 1 delt på 6x − 5
  4. D: f′(x) = 6x − 5 delt på 6
Vis løsning på oppgave 6

u = 6x − 5 og u′ = 6.

u′ delt på u = 6 delt på 6x − 5.

Fasit: B: f′(x) = 6 delt på 6x − 5

Fra leksjon 4.3 Kjerneregelen · Se forklaringen i videoen

Oppgave 7

Finn f′(0).

f(x) = (3x + 1) · eˣ

Vis løsning på oppgave 7

f′(x) = 3eˣ + (3x + 1)eˣ = eˣ(3x + 4). e⁰ = 1, så f′(0) = 3 + 1 = 4.

Fasit: 4

Fra leksjon 4.4 Produktregelen · Se forklaringen i videoen

Oppgave 8

Finn f′(0).

f(x) = 6x − 1 delt på x + 1

Vis løsning på oppgave 8

f′(x) = 6(x + 1) − (6x − 1) delt på (x + 1)² = 7 delt på (x + 1)².

Med x = 0 er nevneren 1, så f′(0) = 7.

Fasit: 7

Fra leksjon 4.5 Brøkregelen · Se forklaringen i videoen

Oppgave 9

Finn f′(1).

f(x) = (x² + 3)²

Vis løsning på oppgave 9

u = x² + 3, u′ = 2x. f′(x) = 2(x² + 3) · 2x = 4x(x² + 3). f′(1) = 4 · 4 = 16.

Fasit: 16

Fra leksjon 4.3 Kjerneregelen · Se forklaringen i videoen

Oppgave 10

Deriver og faktoriser.

f(x) = x⁴ · eˣ

  1. A: f′(x) = 4x³ + eˣ
  2. B: f′(x) = x⁴ eˣ
  3. C: f′(x) = x³ eˣ(x + 4)
  4. D: f′(x) = 4x³ eˣ
Vis løsning på oppgave 10

u = x⁴, u′ = 4x³, v = eˣ og v′ = eˣ. f′(x) = 4x³ · eˣ + x⁴ · eˣ = x³ eˣ(x + 4).

Fasit: C: f′(x) = x³ eˣ(x + 4)

Fra leksjon 4.4 Produktregelen · Se forklaringen i videoen

Mer krevende

Oppgave 11

Deriver og faktoriser.

f(x) = x · e opphøyd i 4x

  1. A: f′(x) = 4e opphøyd i 4x
  2. B: f′(x) = e opphøyd i 4x(1 + x)
  3. C: f′(x) = e opphøyd i 4x(1 + 4x)
  4. D: f′(x) = 4xe opphøyd i 4x
Vis løsning på oppgave 11

u = x, u′ = 1, v = e opphøyd i 4x og v′ = 4e opphøyd i 4x. f′(x) = e opphøyd i 4x + 4xe opphøyd i 4x = e opphøyd i 4x(1 + 4x).

Fasit: C: f′(x) = e opphøyd i 4x(1 + 4x)

Fra leksjon 4.4 Produktregelen · Se forklaringen i videoen

Oppgave 12

Deriver og faktoriser.

f(x) = (2x − 5) · eˣ

  1. A: f′(x) = eˣ(2x − 3)
  2. B: f′(x) = eˣ(2x − 7)
  3. C: f′(x) = eˣ(2x − 5)
  4. D: f′(x) = 2eˣ
Vis løsning på oppgave 12

u = 2x − 5, u′ = 2, v = v′ = eˣ. f′(x) = 2eˣ + (2x − 5)eˣ = eˣ(2 + 2x − 5) = eˣ(2x − 3).

Fasit: A: f′(x) = eˣ(2x − 3)

Fra leksjon 4.4 Produktregelen · Se forklaringen i videoen

Oppgave 13

Deriver.

f(x) = eˣ delt på x − 3

  1. A: f′(x) = eˣ(x − 4) delt på (x − 3)²
  2. B: f′(x) = eˣ(x − 4) delt på x − 3
  3. C: f′(x) = −eˣ(x − 4) delt på (x − 3)²
  4. D: f′(x) = eˣ
Vis løsning på oppgave 13

u = u′ = eˣ, v = x − 3, v′ = 1.

Telleren: eˣ(x − 3) − eˣ · 1 = eˣ(x − 4). f′(x) = eˣ(x − 4) delt på (x − 3)².

Fasit: A: f′(x) = eˣ(x − 4) delt på (x − 3)²

Fra leksjon 4.5 Brøkregelen · Se forklaringen i videoen

Oppgave 14

Deriver.

f(x) = 4x + 1 delt på x + 2

  1. A: f′(x) = −7 delt på (x + 2)²
  2. B: f′(x) = 4
  3. C: f′(x) = 7 delt på x + 2
  4. D: f′(x) = 7 delt på (x + 2)²
Vis løsning på oppgave 14

u = 4x + 1, u′ = 4, v = x + 2, v′ = 1.

Telleren: 4(x + 2) − (4x + 1) = 8 − 1 = 7, fordi x-leddene opphever hverandre. f′(x) = 7 delt på (x + 2)².

Fasit: D: f′(x) = 7 delt på (x + 2)²

Fra leksjon 4.5 Brøkregelen · Se forklaringen i videoen

Oppgave 15

Deriver.

f(x) = x² delt på x − 2

  1. A: f′(x) = −x² − 4x delt på (x − 2)²
  2. B: f′(x) = x² − 4x delt på x − 2
  3. C: f′(x) = 2x
  4. D: f′(x) = x² − 4x delt på (x − 2)²
Vis løsning på oppgave 15

u = x², u′ = 2x, v = x − 2, v′ = 1.

Telleren: 2x(x − 2) − x² = 2x² − 4x − x² = x² − 4x. f′(x) = x² − 4x delt på (x − 2)².

Fasit: D: f′(x) = x² − 4x delt på (x − 2)²

Fra leksjon 4.5 Brøkregelen · Se forklaringen i videoen

Fasit

Vis fasit til alle oppgavene
  1. Oppgave 1: D: u = x² + 1
  2. Oppgave 2: A: u′ · v − u · v′
  3. Oppgave 3: C: f′(x) = x(2 ln x + 1)
  4. Oppgave 4: D: f′(x) = 30(5x − 1)⁵
  5. Oppgave 5: B: f′(x) = 3e opphøyd i 3x
  6. Oppgave 6: B: f′(x) = 6 delt på 6x − 5
  7. Oppgave 7: 4
  8. Oppgave 8: 7
  9. Oppgave 9: 16
  10. Oppgave 10: C: f′(x) = x³ eˣ(x + 4)
  11. Oppgave 11: C: f′(x) = e opphøyd i 4x(1 + 4x)
  12. Oppgave 12: A: f′(x) = eˣ(2x − 3)
  13. Oppgave 13: A: f′(x) = eˣ(x − 4) delt på (x − 3)²
  14. Oppgave 14: D: f′(x) = 7 delt på (x + 2)²
  15. Oppgave 15: D: f′(x) = x² − 4x delt på (x − 2)²

Oppgavene hører til leksjonene 4.3–4.5 i modulen Flere derivasjonsregler, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R1, og bruk formelarket for R1 når du øver.

Les også

Oppgavene er laget av Sophus med de samme oppgavemalene som i kurset, og løsningene er kontrollert av en regnekontroll. Ser du likevel en feil, si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.