Vekstfart med et program – forklart steg for steg

Matematikk 1T · modul 8 · leksjon 8.4 · eksamen: del 2

Et program kan ikke la h gå helt mot null, men det kan bruke en liten h. Her lærer du å lese et program som regner ut vekstfart, og hvorfor svaret blir nesten den deriverte.

Dette er leksjon 8.4 Vekstfart med et program i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Ideen

Den deriverte er en grense når h går mot 0. Et program bruker en liten h, for eksempel 0,001, og regner ut stigningstallet til en kort korde. Svaret blir nesten den deriverte, men ikke helt.

Metoden

1. Velg en liten h.
2. Regn ut f(x + h) − f(x) delt på h.
3. Svaret er nær den deriverte. Jo mindre h er, jo nærmere.

Når h blir mindre

For f(x) = x² i x = 2 gir h = 0,1 svaret 4,1, h = 0,01 gir 4,01, og h = 0,001 gir 4,001. Svarene nærmer seg f'(2) = 4.

2,1² − 2² delt på 0,1 = 4,1
2,01² − 2² delt på 0,01 = 4,01

Eksempler

Eksempel 1: x² i x = 2

Hva skriver programmet ut, og hva er den eksakte vekstfarten?

def f(x):
    return x**2

h = 0.001
print(round((f(2 + h) - f(2)) / h, 3))

2,001² − 2² delt på 0,001 = 4,001
2 · 2 = 4

Svar: Programmet skriver ut 4.001. Den eksakte vekstfarten er f'(2) = 4.

Eksempel 2: x³ i x = 1

Hva skriver programmet ut nå, og hva er den eksakte vekstfarten?

def f(x):
    return x**3

h = 0.001
print(round((f(1 + h) - f(1)) / h, 3))

1,001³ − 1 delt på 0,001 ≈ 3,003
3 · 1² = 3

Svar: Programmet skriver ut 3.003. Den eksakte vekstfarten er f'(1) = 3.

Øv selv: 14 oppgaver i algoritmer i Python med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å tro at programmet gir den eksakte deriverte. 4,001 er en tilnærming.
• Å dele på 2 i stedet for på h.
• Å glemme parentesen rundt telleren, så bare f(2) deles på h.

På eksamen

Slike programmer kommer på del 2. Regn ut svaret for hånd med kalkulatoren, og sammenlign med den deriverte du finner med derivasjonsreglene. Forklar med en setning hvorfor de nesten er like.

Leksjonen hører til modulen Programmering og algoritmer og øves til del 2. Les mer om eksamen i 1T, og bruk formelarket for 1T når du øver.

Begreper: differansekvotient tilnærming

Les også

• Funksjoner i Python – forklart steg for steg
• Løkker og summer – forklart steg for steg
• Halveringsmetoden – forklart steg for steg
• While-løkker og vekst – forklart steg for steg
• Figurtall og summer med program – forklart steg for steg
• Algoritmer i Python: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i 1T

Mer om matte 1T

• Alle modulene i matte 1T
• Eksamen i 1T: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for 1T: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for 1T
• Begrepene i 1T forklart
• De 10 vanligste feilene i 1T
• Temaer i 1T forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i 1T, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.