Hopp til innholdet

Sentralgrensesetningen: oppgaver med fasit

Matematikk S2 · Vg3, samfunnsfaglig matematikk · 15 oppgaver · eksamen: del 1 og del 2

15 oppgaver i sentralgrensesetningen i S2, med løsning steg for steg og fasit. Prøv selv først, og trykk «Vis løsning» når du vil sjekke svaret. Oppgavene er sortert fra kort til lang løsning.

Lær dette i Sophus: 8.3 Sentralgrensesetningen, 8.4 Normaltilnærming til binomisk fordeling i Matematikk S2, med video og øving med nye tall hver gang. Se leksjonen

Lettere oppgaver

Oppgave 1

Hva sier sentralgrensesetningen?

  1. A: Summen har samme fordeling som hver variabel
  2. B: Summen av mange uavhengige variabler er tilnærmet normalfordelt
  3. C: Alle variabler er normalfordelt
  4. D: Hver enkelt verdi blir normalfordelt
Vis løsning på oppgave 1

Summen og gjennomsnittet av mange uavhengige variabler blir tilnærmet normalfordelt.

Fasit: B: Summen av mange uavhengige variabler er tilnærmet normalfordelt

Fra leksjon 8.3 Sentralgrensesetningen · Se forklaringen i videoen

Oppgave 2

n = 400 og p = 0,5. Passer normaltilnærmingen?

  1. A: Ja, normaltilnærming passer alltid
  2. B: Nei, fordi n · p · (1 − p) er under 10
  3. C: Ja, fordi n · p · (1 − p) er minst 10
Vis løsning på oppgave 2

n · p · (1 − p) = 100.

Fasit: C: Ja, fordi n · p · (1 − p) er minst 10

Fra leksjon 8.4 Normaltilnærming til binomisk fordeling · Se forklaringen i videoen

Oppgave 3

En variabel har μ = 3,5. Du legger sammen 100 uavhengige verdier. Hva er forventningen til summen?

Vis løsning på oppgave 3

E(S) = 100 · 3,5 = 350.

Fasit: 350

Fra leksjon 8.3 Sentralgrensesetningen · Se forklaringen i videoen

Oppgave 4

En variabel har σ = 2. Finn standardavviket til summen av 400 uavhengige verdier.

Vis løsning på oppgave 4

SD(S) = √400 · 2 = 40.

Fasit: 40

Fra leksjon 8.3 Sentralgrensesetningen · Se forklaringen i videoen

Oppgave 5

X er binomisk med n = 900 og p = 0,1. Hvilken σ bruker du i normaltilnærmingen?

Vis løsning på oppgave 5

σ = √(900 · 0,1 · 0,9) = 9.

Fasit: 9

Fra leksjon 8.4 Normaltilnærming til binomisk fordeling · Se forklaringen i videoen

Middels vanskelige

Oppgave 6

En variabel har μ = 3,5. Du legger sammen 400 uavhengige verdier. Hva er forventningen til summen?

Vis løsning på oppgave 6

E(S) = 400 · 3,5 = 1 400.

Fasit: 1 400

Fra leksjon 8.3 Sentralgrensesetningen · Se forklaringen i videoen

Oppgave 7

En variabel har σ = 3. Finn standardavviket til summen av 400 uavhengige verdier.

Vis løsning på oppgave 7

SD(S) = √400 · 3 = 60.

Fasit: 60

Fra leksjon 8.3 Sentralgrensesetningen · Se forklaringen i videoen

Oppgave 8

X er binomisk med n = 400 og p = 0,5. Hvilken σ bruker du i normaltilnærmingen?

Vis løsning på oppgave 8

σ = √(400 · 0,5 · 0,5) = 10.

Fasit: 10

Fra leksjon 8.4 Normaltilnærming til binomisk fordeling · Se forklaringen i videoen

Oppgave 9

μ = 40 og σ = 10. Finn sannsynligheten for at gjennomsnittet av 25 målinger er under 36. Bruk at Φ(2) = 0,9772.

Vis løsning på oppgave 9

SD(snitt) = 2, Z = −2, P = 1 − 0,9772 = 0,0228.

Fasit: 0,023

Fra leksjon 8.3 Sentralgrensesetningen · Se forklaringen i videoen

Oppgave 10

X er binomisk med n = 400 og p = 0,2. Bruk normaltilnærming (uten heltallskorreksjon) til å anslå P(X ≤ 72). Bruk at Φ(1) = 0,8413.

Vis løsning på oppgave 10

μ = 80, σ = 8, Z = −1.

P ≈ 1 − 0,8413 = 0,1587.

Fasit: 0,159

Fra leksjon 8.4 Normaltilnærming til binomisk fordeling · Se forklaringen i videoen

Mer krevende

Oppgave 11

X er binomisk med n = 400 og p = 0,2. Bruk normaltilnærming (uten heltallskorreksjon) til å anslå P(X ≤ 64). Bruk at Φ(2) = 0,9772.

Vis løsning på oppgave 11

μ = 80, σ = 8.

Z = −2.

P ≈ 1 − 0,9772 = 0,0228.

Fasit: 0,023

Fra leksjon 8.4 Normaltilnærming til binomisk fordeling · Se forklaringen i videoen

Oppgave 12

μ = 150 og σ = 18. Finn sannsynligheten for at gjennomsnittet av 144 målinger er over 153. Bruk at Φ(2) = 0,9772.

Vis løsning på oppgave 12

SD(snitt) = 18 delt på √144 = 1,5.

Z = 153 − 150 delt på 1,5 = 2.

P = 1 − 0,9772 = 0,0228.

Fasit: 0,023

Fra leksjon 8.3 Sentralgrensesetningen · Se forklaringen i videoen

Oppgave 13

En mynt kastes 400 ganger, og X er antall kron. Bruk normaltilnærming (uten heltallskorreksjon) til å anslå P(X ≥ 220). Bruk at Φ(2) = 0,9772.

Vis løsning på oppgave 13

μ = 200, σ = 10.

Z = 220 − 200 delt på 10 = 2.

P ≈ 1 − 0,9772 = 0,0228.

Fasit: 0,023

Fra leksjon 8.4 Normaltilnærming til binomisk fordeling · Se forklaringen i videoen

Oppgave 14

μ = 100 og σ = 12. Finn sannsynligheten for at gjennomsnittet av 144 målinger er over 102. Bruk at Φ(2) = 0,9772.

Vis løsning på oppgave 14

SD(snitt) = 12 delt på √144 = 1.

Z = 102 − 100 delt på 1 = 2.

P = 1 − 0,9772 = 0,0228.

Fasit: 0,023

Fra leksjon 8.3 Sentralgrensesetningen · Se forklaringen i videoen

Oppgave 15

En mynt kastes 400 ganger, og X er antall kron. Bruk normaltilnærming (uten heltallskorreksjon) til å anslå P(X ≥ 210). Bruk at Φ(1) = 0,8413.

Vis løsning på oppgave 15

μ = 200, σ = 10.

Z = 210 − 200 delt på 10 = 1.

P ≈ 1 − 0,8413 = 0,1587.

Fasit: 0,159

Fra leksjon 8.4 Normaltilnærming til binomisk fordeling · Se forklaringen i videoen

Fasit

Vis fasit til alle oppgavene
  1. Oppgave 1: B: Summen av mange uavhengige variabler er tilnærmet normalfordelt
  2. Oppgave 2: C: Ja, fordi n · p · (1 − p) er minst 10
  3. Oppgave 3: 350
  4. Oppgave 4: 40
  5. Oppgave 5: 9
  6. Oppgave 6: 1 400
  7. Oppgave 7: 60
  8. Oppgave 8: 10
  9. Oppgave 9: 0,023
  10. Oppgave 10: 0,159
  11. Oppgave 11: 0,023
  12. Oppgave 12: 0,023
  13. Oppgave 13: 0,023
  14. Oppgave 14: 0,023
  15. Oppgave 15: 0,159

Oppgavene hører til leksjonene 8.3–8.4 i modulen Normalfordelingen, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i S2, og bruk formelarket for S2 når du øver.

Les også

Oppgavene er laget av Sophus med de samme oppgavemalene som i kurset, og løsningene er kontrollert av en regnekontroll. Ser du likevel en feil, si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.