Hopp til innholdet

Vendepunkter og asymptoter: oppgaver med fasit

Matematikk R1 · Vg2, realfagsmatematikk · 15 oppgaver · eksamen: del 1 og del 2

15 oppgaver i vendepunkter og asymptoter i R1, med løsning steg for steg og fasit. Prøv selv først, og trykk «Vis løsning» når du vil sjekke svaret. Oppgavene er sortert fra kort til lang løsning.

Lær dette i Sophus: 5.3 Den andrederiverte og vendepunkter, 5.4 Asymptoter i Matematikk R1, med video og øving med nye tall hver gang. Se leksjonen

Lettere oppgaver

Oppgave 1

For en funksjon f er f′(1) = 0 og f″(1) = −6. Hva har grafen i x = 1?

  1. A: Vendepunkt
  2. B: Det kan ikke avgjøres
  3. C: Bunnpunkt
  4. D: Toppunkt
Vis løsning på oppgave 1

f′(1) = 0 og f″(1) = −6 < 0 gir et toppunkt.

Fasit: D: Toppunkt

Fra leksjon 5.3 Den andrederiverte og vendepunkter · Se forklaringen i videoen

Oppgave 2

Hvor krummer grafen opp (smiler)?

f(x) = x³ + 6x²

  1. A: x < −2
  2. B: x > 2
  3. C: x > 0
  4. D: x > −2
Vis løsning på oppgave 2

f′(x) = 3x² + 12x og f″(x) = 6x + 12. f″(x) > 0 når x > −2, og der smiler grafen.

Fasit: D: x > −2

Fra leksjon 5.3 Den andrederiverte og vendepunkter · Se forklaringen i videoen

Oppgave 3

For en funksjon f er f′(0) = 0 og f″(0) = −2. Hva har grafen i x = 0?

  1. A: Vendepunkt
  2. B: Toppunkt
  3. C: Bunnpunkt
  4. D: Det kan ikke avgjøres
Vis løsning på oppgave 3

f′(0) = 0 og f″(0) = −2 < 0 gir et toppunkt.

Fasit: B: Toppunkt

Fra leksjon 5.3 Den andrederiverte og vendepunkter · Se forklaringen i videoen

Oppgave 4

Hvor krummer grafen opp (smiler)?

f(x) = x³ − 9x²

  1. A: x < 3
  2. B: x > 6
  3. C: x > −3
  4. D: x > 3
Vis løsning på oppgave 4

f′(x) = 3x² − 18x og f″(x) = 6x − 18. f″(x) > 0 når x > 3, og der smiler grafen.

Fasit: D: x > 3

Fra leksjon 5.3 Den andrederiverte og vendepunkter · Se forklaringen i videoen

Oppgave 5

Finn den andrederiverte.

f(x) = 2x³ − 4x² − x

  1. A: f″(x) = 12x − 8
  2. B: f″(x) = 6x² − 8x − 1
  3. C: f″(x) = 6x − 8
  4. D: f″(x) = 12x
Vis løsning på oppgave 5

f′(x) = 6x² − 8x − 1, og f″(x) = (f′(x))′ = 12x − 8.

Fasit: A: f″(x) = 12x − 8

Fra leksjon 5.3 Den andrederiverte og vendepunkter · Se forklaringen i videoen

Middels vanskelige

Oppgave 6

Har grafen til f(x) = x⁴ − 4x³ et vendepunkt i x = 0?

  1. A: Ja, f″ skifter fortegn i x = 0
  2. B: Nei, f″ skifter ikke fortegn i x = 0
  3. C: Nei, fordi f′(0) = 0
  4. D: Ja, fordi f″(0) = 0
Vis løsning på oppgave 6

f″(x) = 12x² − 24x = 12x(x − 2). f″ skifter fortegn i x = 0, så det er et vendepunkt.

Fasit: A: Ja, f″ skifter fortegn i x = 0

Fra leksjon 5.3 Den andrederiverte og vendepunkter · Se forklaringen i videoen

Oppgave 7

Finn den vertikale asymptoten.

f(x) = 1 delt på x + 3

  1. A: x = −3
  2. B: y = −3
  3. C: x = 3
  4. D: x = 1
Vis løsning på oppgave 7

Nevneren er 0 når x = −3, og telleren 1 er ikke 0.

Vertikal asymptote: x = −3.

Fasit: A: x = −3

Fra leksjon 5.4 Asymptoter · Se forklaringen i videoen

Oppgave 8

Finn den horisontale asymptoten.

f(x) = 4x − 5 delt på x − 1

  1. A: y = 5
  2. B: x = 1
  3. C: y = 4
  4. D: y = 0
Vis løsning på oppgave 8

Del hvert ledd på x.

Leddene med x i nevneren går mot 0, så f(x) → 4 når x → ±∞.

Horisontal asymptote: y = 4.

Fasit: C: y = 4

Fra leksjon 5.4 Asymptoter · Se forklaringen i videoen

Oppgave 9

Finn den horisontale asymptoten.

f(x) = 4x + 3 delt på x² + 5

  1. A: y = 3 delt på 5
  2. B: y = 4
  3. C: y = 0
  4. D: Ingen horisontal asymptote
Vis løsning på oppgave 9

Del hvert ledd på x².

Telleren går mot 0 og nevneren mot 1, så grenseverdien er 0.

Horisontal asymptote: y = 0.

Fasit: C: y = 0

Fra leksjon 5.4 Asymptoter · Se forklaringen i videoen

Oppgave 10

Finn den andrederiverte.

f(x) = 2x³ + 5x² + 4x

  1. A: f″(x) = 6x² + 10x + 4
  2. B: f″(x) = 6x + 10
  3. C: f″(x) = 12x
  4. D: f″(x) = 12x + 10
Vis løsning på oppgave 10

f′(x) = 6x² + 10x + 4, og f″(x) = (f′(x))′ = 12x + 10.

Fasit: D: f″(x) = 12x + 10

Fra leksjon 5.3 Den andrederiverte og vendepunkter · Se forklaringen i videoen

Mer krevende

Oppgave 11

Har grafen til f(x) = x⁴ − 8x³ et vendepunkt i x = 0?

  1. A: Nei, fordi f′(0) = 0
  2. B: Ja, f″ skifter fortegn i x = 0
  3. C: Nei, f″ skifter ikke fortegn i x = 0
  4. D: Ja, fordi f″(0) = 0
Vis løsning på oppgave 11

f″(x) = 12x² − 48x = 12x(x − 4). f″ skifter fortegn i x = 0, så det er et vendepunkt.

Fasit: B: Ja, f″ skifter fortegn i x = 0

Fra leksjon 5.3 Den andrederiverte og vendepunkter · Se forklaringen i videoen

Oppgave 12

Finn asymptotene.

f(x) = 3x + 5 delt på x + 2

  1. A: x = −2 og y = 3
  2. B: x = 3 og y = −2
  3. C: x = −2 og y = 5 delt på 2
  4. D: x = 2 og y = 3
Vis løsning på oppgave 12

Nevneren er 0 når x = −2, og telleren er −1 der, ikke 0.

Når x → ±∞, går f(x) mot 3. x = −2 og y = 3.

Fasit: A: x = −2 og y = 3

Fra leksjon 5.4 Asymptoter · Se forklaringen i videoen

Oppgave 13

Hva har grafen?

f(x) = x² − 9 delt på x − 3

  1. A: Ingen vertikal asymptote, men et hull i (3, 6)
  2. B: Vertikal asymptote x = −3
  3. C: Horisontal asymptote y = 1
  4. D: Vertikal asymptote x = 3
Vis løsning på oppgave 13

x² − 9 = (x − 3)(x + 3).

Faktoren x − 3 forkortes, så f(x) = x + 3 for x ≠ 3.

Grafen er en rett linje med et hull i (3, 6).

Fasit: A: Ingen vertikal asymptote, men et hull i (3, 6)

Fra leksjon 5.4 Asymptoter · Se forklaringen i videoen

Oppgave 14

Finn vendepunktet.

f(x) = x³ − 6x²

  1. A: (4, −32)
  2. B: (2, −16)
  3. C: (−2, −32)
  4. D: (2, 0)
Vis løsning på oppgave 14

f′(x) = 3x² − 12x og f″(x) = 6x − 12. f″(x) = 0 gir x = 2, og f″ skifter fortegn der. f(2) = 8 − 24 = −16.

Vendepunktet er (2, −16).

Fasit: B: (2, −16)

Fra leksjon 5.3 Den andrederiverte og vendepunkter · Se forklaringen i videoen

Oppgave 15

Finn vendepunktet.

f(x) = x³ + 6x²

  1. A: (2, 32)
  2. B: (−2, 16)
  3. C: (−2, 0)
  4. D: (−4, 32)
Vis løsning på oppgave 15

f′(x) = 3x² + 12x og f″(x) = 6x + 12. f″(x) = 0 gir x = −2, og f″ skifter fortegn der. f(−2) = −8 + 24 = 16.

Vendepunktet er (−2, 16).

Fasit: B: (−2, 16)

Fra leksjon 5.3 Den andrederiverte og vendepunkter · Se forklaringen i videoen

Fasit

Vis fasit til alle oppgavene
  1. Oppgave 1: D: Toppunkt
  2. Oppgave 2: D: x > −2
  3. Oppgave 3: B: Toppunkt
  4. Oppgave 4: D: x > 3
  5. Oppgave 5: A: f″(x) = 12x − 8
  6. Oppgave 6: A: Ja, f″ skifter fortegn i x = 0
  7. Oppgave 7: A: x = −3
  8. Oppgave 8: C: y = 4
  9. Oppgave 9: C: y = 0
  10. Oppgave 10: D: f″(x) = 12x + 10
  11. Oppgave 11: B: Ja, f″ skifter fortegn i x = 0
  12. Oppgave 12: A: x = −2 og y = 3
  13. Oppgave 13: A: Ingen vertikal asymptote, men et hull i (3, 6)
  14. Oppgave 14: B: (2, −16)
  15. Oppgave 15: B: (−2, 16)

Oppgavene hører til leksjonene 5.3–5.4 i modulen Funksjonsdrøfting, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R1, og bruk formelarket for R1 når du øver.

Les også

Oppgavene er laget av Sophus med de samme oppgavemalene som i kurset, og løsningene er kontrollert av en regnekontroll. Ser du likevel en feil, si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.