eˣ og ln x som omvendte funksjoner – forklart steg for steg

Matematikk R1 · modul 9 · leksjon 9.2 · eksamen: del 1 og del 2

eˣ og ln x opphever hverandre. Her lærer du hva det betyr for grafene, for definisjons- og verdimengden, og hvordan du finner den omvendte funksjonen når de er med.

Dette er leksjon 9.2 eˣ og ln x som omvendte funksjoner i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

De opphever hverandre

e opphøyd i ^{ln x} = x for x > 0, og ln(eˣ) = x for alle x. Derfor er de omvendte funksjoner.

e opphøyd i ^{ln 7} = 7
ln(e³) = 3

Grafene

Grafene er speilet om linja y = x. Punktet (0, 1) på eˣ svarer til (1, 0) på ln x.

ln x har definisjonsmengde x > 0 og verdimengde alle tall. eˣ har definisjonsmengde alle tall og verdimengde y > 0. Mengdene bytter plass.

e opphøyd i ⁰ = 1
ln 1 = 0

Eksempler

Eksempel 1: ln med en kjerne

Finn den omvendte funksjonen til f(x) = ln(x − 1).

ln(e opphøyd i ² + 1 − 1) = 2

Svar: f opphøyd i ⁻¹(x) = eˣ + 1

Bytt om: x = ln(y − 1). Opphøy e i begge sider: eˣ = y − 1, så y = eˣ + 1. Sjekken viser at f(f opphøyd i ⁻¹(2)) = 2. Definisjonsmengden til f er x > 1, og det er verdimengden til f opphøyd i ⁻¹.

Eksempel 2: en til

Finn den omvendte funksjonen til f(x) = ln(x + 2).

ln(e opphøyd i ³ − 2 + 2) = 3

Svar: f opphøyd i ⁻¹(x) = eˣ − 2

Bytt om: x = ln(y + 2), så eˣ = y + 2 og y = eˣ − 2.

Øv selv: 15 oppgaver i omvendte funksjoner med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

Å blande definisjonsmengden og verdimengden til f og f opphøyd i ⁻¹.
Å skrive at e opphøyd i ^{ln(x − 1)} er x. Det er x − 1.
Å glemme at ln bare er definert for positive tall.

På eksamen

Oppgaver om eˣ og ln x som omvendte funksjoner kommer på del 1. Skriv byttet av x og y tydelig, og oppgi definisjons- og verdimengde. Skisser gjerne begge grafene og linja y = x for hånd.

Leksjonen hører til modulen Omvendte funksjoner og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R1, og bruk formelarket for R1 når du øver.

Begreper: definisjonsmengde verdimengde speiling

Les også

Mer om matte R1

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.