Hopp til innholdet

Vekstfart og den deriverte: oppgaver med fasit

Matematikk S1 · Vg2, samfunnsfaglig matematikk · 15 oppgaver · eksamen: del 1 og del 2

15 oppgaver i vekstfart og den deriverte i S1, med løsning steg for steg og fasit. Prøv selv først, og trykk «Vis løsning» når du vil sjekke svaret. Oppgavene er sortert fra kort til lang løsning.

Lær dette i Sophus: 4.1 Gjennomsnittlig vekstfart, 4.2 Momentan vekstfart og den deriverte i Matematikk S1, med video og øving med nye tall hver gang. Se leksjonen

Lettere oppgaver

Oppgave 1

Hva er den gjennomsnittlige vekstfarten fra x = a til x = c på grafen?

  1. A: Arealet under grafen
  2. B: Funksjonsverdien f(c)
  3. C: Stigningstallet til sekanten gjennom de to punktene
  4. D: Stigningstallet til tangenten i x = a
Vis løsning på oppgave 1

Da er brøken f(c) − f(a) delt på c − a stigningstallet til sekanten, den rette linjen gjennom de to punktene.

Fasit: C: Stigningstallet til sekanten gjennom de to punktene

Fra leksjon 4.1 Gjennomsnittlig vekstfart · Se forklaringen i videoen

Oppgave 2

Hva er f′(a)?

  1. A: Arealet under grafen fra 0 til a
  2. B: Stigningstallet til tangenten i x = a
  3. C: Stigningstallet til sekanten fra 0 til a
  4. D: Funksjonsverdien i x = a
Vis løsning på oppgave 2

Da er f′(a) den momentane vekstfarten, altså stigningstallet til tangenten i punktet.

Fasit: B: Stigningstallet til tangenten i x = a

Fra leksjon 4.2 Momentan vekstfart og den deriverte · Se forklaringen i videoen

Oppgave 3

Klokka 10 var temperaturen 7 °C, og klokka 13 var den 13 °C. Hva var den gjennomsnittlige vekstfarten?

Vis løsning på oppgave 3

13 − 7 delt på 13 − 10 = 6 delt på 3 = 2 °C per time.

Fasit: 2 °C per time

Fra leksjon 4.1 Gjennomsnittlig vekstfart · Se forklaringen i videoen

Oppgave 4

Klokka 8 var temperaturen 11 °C, og klokka 12 var den 27 °C. Hva var den gjennomsnittlige vekstfarten?

Vis løsning på oppgave 4

27 − 11 delt på 12 − 8 = 16 delt på 4 = 4 °C per time.

Fasit: 4 °C per time

Fra leksjon 4.1 Gjennomsnittlig vekstfart · Se forklaringen i videoen

Oppgave 5

Bruk definisjonen av den deriverte. Hva er f′(x) når f(x) = 6x²?

  1. A: 6x
  2. B: 6x²
  3. C: 12x + 6h
  4. D: 12x
Vis løsning på oppgave 5

6(x + h)² − 6x² delt på h = 12xh + 6h² delt på h = 12x + 6h.

Når h går mot 0, får vi 12x.

Fasit: D: 12x

Fra leksjon 4.2 Momentan vekstfart og den deriverte · Se forklaringen i videoen

Middels vanskelige

Oppgave 6

K(x) = x² + 30x + 500 kroner, og K′(x) = 2x + 30. Hva er grensekostnaden ved x = 40?

Vis løsning på oppgave 6

K′(40) = 2 · 40 + 30 = 110 kr per vare.

Den neste varen koster omtrent 110 kr å lage.

Fasit: 110 kr per vare

Fra leksjon 4.2 Momentan vekstfart og den deriverte · Se forklaringen i videoen

Oppgave 7

Bruk definisjonen av den deriverte. Hva er f′(x) når f(x) = 2x²?

  1. A: 4x + 2h
  2. B: 2x
  3. C: 2x²
  4. D: 4x
Vis løsning på oppgave 7

2(x + h)² − 2x² delt på h = 4xh + 2h² delt på h = 4x + 2h.

Når h går mot 0, får vi 4x.

Fasit: D: 4x

Fra leksjon 4.2 Momentan vekstfart og den deriverte · Se forklaringen i videoen

Oppgave 8

K(x) = x² + 20x + 500 kroner, og K′(x) = 2x + 20. Hva er grensekostnaden ved x = 10?

Vis løsning på oppgave 8

K′(10) = 2 · 10 + 20 = 40 kr per vare.

Den neste varen koster omtrent 40 kr å lage.

Fasit: 40 kr per vare

Fra leksjon 4.2 Momentan vekstfart og den deriverte · Se forklaringen i videoen

Oppgave 9

f(x) = x². Regn ut stigningstallet til sekanten fra x = 1 til x = 1,1.

Vis løsning på oppgave 9

f(1,1) − f(1) delt på 0,1 = 1,21 − 1 delt på 0,1 = 2,1.

Det er nesten f′(1) = 2.

Fasit: 2,1

Fra leksjon 4.2 Momentan vekstfart og den deriverte · Se forklaringen i videoen

Oppgave 10

f(x) = x². Regn ut stigningstallet til sekanten fra x = 2 til x = 2,1.

Vis løsning på oppgave 10

f(2,1) − f(2) delt på 0,1 = 4,41 − 4 delt på 0,1 = 4,1.

Det er nesten f′(2) = 4.

Fasit: 4,1

Fra leksjon 4.2 Momentan vekstfart og den deriverte · Se forklaringen i videoen

Mer krevende

Oppgave 11

f(x) = x² + 6x. Finn den gjennomsnittlige vekstfarten fra x = 1 til x = 3.

Vis løsning på oppgave 11

f(3) = 27 og f(1) = 7.

27 − 7 delt på 3 − 1 = 20 delt på 2 = 10.

Fasit: 10

Fra leksjon 4.1 Gjennomsnittlig vekstfart · Se forklaringen i videoen

Oppgave 12

Kostnaden ved å lage x varer er K(x) = x² + 20x + 100 kroner. Finn den gjennomsnittlige vekstfarten fra 5 til 10 varer.

Vis løsning på oppgave 12

K(10) = 400 og K(5) = 225.

400 − 225 delt på 10 − 5 = 175 delt på 5 = 35 kr per vare.

Fasit: 35 kr per vare

Fra leksjon 4.1 Gjennomsnittlig vekstfart · Se forklaringen i videoen

Oppgave 13

f(x) = x² − 5x. Finn den gjennomsnittlige vekstfarten fra x = 0 til x = 3.

Vis løsning på oppgave 13

f(3) = −6 og f(0) = 0.

−6 − 0 delt på 3 − 0 = −6 delt på 3 = −2.

Fasit: −2

Fra leksjon 4.1 Gjennomsnittlig vekstfart · Se forklaringen i videoen

Oppgave 14

Kostnaden ved å lage x varer er K(x) = x² + 5x + 100 kroner. Finn den gjennomsnittlige vekstfarten fra 5 til 10 varer.

Vis løsning på oppgave 14

K(10) = 250 og K(5) = 150.

250 − 150 delt på 10 − 5 = 100 delt på 5 = 20 kr per vare.

Fasit: 20 kr per vare

Fra leksjon 4.1 Gjennomsnittlig vekstfart · Se forklaringen i videoen

Oppgave 15

f(x) = x² − 5x. Finn den gjennomsnittlige vekstfarten fra x = 2 til x = 4.

Vis løsning på oppgave 15

f(4) = −4 og f(2) = −6.

−4 − (−6) delt på 4 − 2 = 2 delt på 2 = 1.

Fasit: 1

Fra leksjon 4.1 Gjennomsnittlig vekstfart · Se forklaringen i videoen

Fasit

Vis fasit til alle oppgavene
  1. Oppgave 1: C: Stigningstallet til sekanten gjennom de to punktene
  2. Oppgave 2: B: Stigningstallet til tangenten i x = a
  3. Oppgave 3: 2 °C per time
  4. Oppgave 4: 4 °C per time
  5. Oppgave 5: D: 12x
  6. Oppgave 6: 110 kr per vare
  7. Oppgave 7: D: 4x
  8. Oppgave 8: 40 kr per vare
  9. Oppgave 9: 2,1
  10. Oppgave 10: 4,1
  11. Oppgave 11: 10
  12. Oppgave 12: 35 kr per vare
  13. Oppgave 13: −2
  14. Oppgave 14: 20 kr per vare
  15. Oppgave 15: 1

Oppgavene hører til leksjonene 4.1–4.2 i modulen Derivasjon, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i S1, og bruk formelarket for S1 når du øver.

Les også

Oppgavene er laget av Sophus med de samme oppgavemalene som i kurset, og løsningene er kontrollert av en regnekontroll. Ser du likevel en feil, si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.