Derivasjonsregler og drøfting: oppgaver med fasit
15 oppgaver i derivasjonsregler og drøfting i S1, med løsning steg for steg og fasit. Prøv selv først, og trykk «Vis løsning» når du vil sjekke svaret. Oppgavene er sortert fra kort til lang løsning.
Lær dette i Sophus: 4.3 Derivasjonsregler for polynomer, 4.4 Tangenter, 4.5 Drøfting med den deriverte i Matematikk S1, med video og øving med nye tall hver gang. Se leksjonen
Lettere oppgaver
Oppgave 1
Deriver f(x) = 3x⁴.
- A: 3x³
- B: 12x³
- C: 4x³
- D: 12x⁴
Vis løsning på oppgave 1
3 · 4 · x³ = 12x³.
Fasit: B: 12x³
Fra leksjon 4.3 Derivasjonsregler for polynomer · Se forklaringen i videoen
Oppgave 2
Deriver f(x) = 3x³ − 5x² − 5x + 8.
- A: 9x² − 10x − 5 + 8
- B: 9x² − 10x − 5
- C: 3x² − 5x − 5
- D: 9x³ − 10x² − 5x
Vis løsning på oppgave 2
Ledd for ledd: f′(x) = 9x² − 10x − 5.
Fasit: B: 9x² − 10x − 5
Fra leksjon 4.3 Derivasjonsregler for polynomer · Se forklaringen i videoen
Oppgave 3
f′(x) > 0 for alle x mellom 1 og 4. Hva betyr det?
- A: f er positiv fra 1 til 4
- B: f har et toppunkt mellom 1 og 4
- C: f vokser fra x = 1 til x = 4
- D: f avtar fra 1 til 4
Vis løsning på oppgave 3
Er den deriverte positiv, stiger grafen.
Pilene på fortegnslinja peker opp.
Fasit: C: f vokser fra x = 1 til x = 4
Fra leksjon 4.5 Drøfting med den deriverte · Se forklaringen i videoen
Oppgave 4
f(x) = x³ + 2x. Har f noen topp- eller bunnpunkter?
- A: Ja, et toppunkt i x = 0
- B: Nei, f′(x) er alltid positiv
- C: Ja, i x = 2
- D: Ja, et bunnpunkt i x = 0
Vis løsning på oppgave 4
f′(x) = 3x² + 2 er alltid positiv, så f vokser overalt og har ingen topp- eller bunnpunkter.
Fasit: B: Nei, f′(x) er alltid positiv
Fra leksjon 4.5 Drøfting med den deriverte · Se forklaringen i videoen
Oppgave 5
Deriver f(x) = 5x³.
- A: 15x³
- B: 5x²
- C: 15x²
- D: 3x²
Vis løsning på oppgave 5
5 · 3 · x² = 15x².
Fasit: C: 15x²
Fra leksjon 4.3 Derivasjonsregler for polynomer · Se forklaringen i videoen
Middels vanskelige
Oppgave 6
Deriver f(x) = 2x³ − 4x² + 2x − 1.
- A: 6x³ − 8x² + 2x
- B: 6x² − 8x + 2 − 1
- C: 6x² − 8x + 2
- D: 2x² − 4x + 2
Vis løsning på oppgave 6
Ledd for ledd: f′(x) = 6x² − 8x + 2.
Fasit: C: 6x² − 8x + 2
Fra leksjon 4.3 Derivasjonsregler for polynomer · Se forklaringen i videoen
Oppgave 7
f(x) = x³ − 4x² + 2x + 5. Finn f′(0).
Vis løsning på oppgave 7
f′(x) = 3x² − 8x + 2, så f′(0) = 2.
Fasit: 2
Fra leksjon 4.3 Derivasjonsregler for polynomer · Se forklaringen i videoen
Oppgave 8
Hva er stigningstallet til tangenten til f(x) = x³ − 3x i x = 3?
Vis løsning på oppgave 8
f′(x) = 3x² − 3, så f′(3) = 24.
Fasit: 24
Oppgave 9
Hvorfor bruker vi f′(a) og ikke f(a) som stigningstall i tangenten?
- A: Fordi tangenten går gjennom origo
- B: Fordi f′(a) er stigningstallet til tangenten, og f(a) er y-verdien i punktet
- C: Det spiller ingen rolle
- D: Fordi f(a) alltid er null
Vis løsning på oppgave 9
Tangenten går gjennom punktet (a, f(a)) og har stigningstallet f′(a).
Begge trengs i y − f(a) = f′(a)(x − a).
Fasit: B: Fordi f′(a) er stigningstallet til tangenten, og f(a) er y-verdien i punktet
Oppgave 10
f(x) = x³ − x² + 2x + 4. Finn f′(−2).
Vis løsning på oppgave 10
f′(x) = 3x² − 2x + 2, så f′(−2) = 18.
Fasit: 18
Fra leksjon 4.3 Derivasjonsregler for polynomer · Se forklaringen i videoen
Mer krevende
Oppgave 11
I hvilket punkt har grafen til f(x) = x² + 3x en tangent med stigningstall −3? Oppgi x-koordinaten.
Vis løsning på oppgave 11
f′(x) = 2x + 3.
2x + 3 = −3 gir x = −3.
Fasit: −3
Oppgave 12
K(x) = 0,5x² + 20x + 1 000 kroner. Finn grensekostnaden ved x = 20.
Vis løsning på oppgave 12
K′(x) = 0,5 · 2x + 20 = x + 20.
K′(20) = 20 + 20 = 40 kr per vare.
Fasit: 40 kr per vare
Fra leksjon 4.3 Derivasjonsregler for polynomer · Se forklaringen i videoen
Oppgave 13
f(x) = −x² + 6x + 6. Finn den største verdien til f.
Vis løsning på oppgave 13
f′(x) = −2x + 6 = 0 gir x = 3.
Fortegnet går fra pluss til minus, så det er et toppunkt. f(3) = 15.
Fasit: 15
Fra leksjon 4.5 Drøfting med den deriverte · Se forklaringen i videoen
Oppgave 14
Finn likningen for tangenten til f(x) = x² − 3x i x = −3.
- A: y = −9x − 9
- B: y = 18x − 9
- C: y = −6x − 9
- D: y = −9x + 18
Vis løsning på oppgave 14
Steg 1: f(−3) = 18.
Steg 2: f′(x) = 2x − 3, så f′(−3) = −9.
Steg 3 og 4: y − 18 = −9(x − (−3)), som gir y = −9x − 9.
Fasit: A: y = −9x − 9
Oppgave 15
Finn topp- og bunnpunktene til f(x) = x³ − 27x.
- A: Toppunkt (−3, 54), bunnpunkt (3, −54)
- B: Toppunkt (−3, 0), bunnpunkt (3, 0)
- C: Toppunkt (3, −54), bunnpunkt (−3, 54)
- D: Toppunkt (0, 0)
Vis løsning på oppgave 15
f′(x) = 3x² − 27 = 3(x + 3)(x − 3).
Fortegnet er pluss, minus, pluss.
Toppunkt i x = −3: f(−3) = 54.
Bunnpunkt i x = 3: f(3) = −54.
Fasit: A: Toppunkt (−3, 54), bunnpunkt (3, −54)
Fra leksjon 4.5 Drøfting med den deriverte · Se forklaringen i videoen
Fasit
Vis fasit til alle oppgavene
- Oppgave 1: B: 12x³
- Oppgave 2: B: 9x² − 10x − 5
- Oppgave 3: C: f vokser fra x = 1 til x = 4
- Oppgave 4: B: Nei, f′(x) er alltid positiv
- Oppgave 5: C: 15x²
- Oppgave 6: C: 6x² − 8x + 2
- Oppgave 7: 2
- Oppgave 8: 24
- Oppgave 9: B: Fordi f′(a) er stigningstallet til tangenten, og f(a) er y-verdien i punktet
- Oppgave 10: 18
- Oppgave 11: −3
- Oppgave 12: 40 kr per vare
- Oppgave 13: 15
- Oppgave 14: A: y = −9x − 9
- Oppgave 15: A: Toppunkt (−3, 54), bunnpunkt (3, −54)
Oppgavene hører til leksjonene 4.3–4.5 i modulen Derivasjon, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i S1, og bruk formelarket for S1 når du øver.
Les også
- Kostnad, overskudd og optimering: oppgaver med fasit
- Vekstfart og den deriverte: oppgaver med fasit
- Alle oppgavene i S1
- Begrepene i S1 forklart
Oppgavene er laget av Sophus med de samme oppgavemalene som i kurset, og løsningene er kontrollert av en regnekontroll. Ser du likevel en feil, si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.