Hopp til innholdet

Kostnad, overskudd og optimering: oppgaver med fasit

Matematikk S1 · Vg2, samfunnsfaglig matematikk · 15 oppgaver · eksamen: del 1 og del 2

15 oppgaver i kostnad, overskudd og optimering i S1, med løsning steg for steg og fasit. Prøv selv først, og trykk «Vis løsning» når du vil sjekke svaret. Oppgavene er sortert fra kort til lang løsning.

Lær dette i Sophus: 5.1 Kostnad, inntekt og overskudd, 5.2 Størst overskudd, 5.3 Optimering med areal og volum i Matematikk S1, med video og øving med nye tall hver gang. Se leksjonen

Lettere oppgaver

Oppgave 1

Innhegningen inntil veggen har A(x) = x(80 − 2x). Hva er definisjonsmengden?

  1. A: 0 < x < 80
  2. B: x > 0
  3. C: 0 < x < 20
  4. D: 0 < x < 40
Vis løsning på oppgave 1

Sidene må være positive: x > 0 og 80 − 2x > 0, altså 0 < x < 40.

Fasit: D: 0 < x < 40

Fra leksjon 5.3 Optimering med areal og volum · Se forklaringen i videoen

Oppgave 2

K(x) = 0,2x² + 12x + 600 kroner. Hvor store er de faste kostnadene?

Vis løsning på oppgave 2

De faste kostnadene er like store uansett hvor mye du lager.

De er K(0) = 600 kr.

Fasit: 600 kr

Fra leksjon 5.1 Kostnad, inntekt og overskudd · Se forklaringen i videoen

Oppgave 3

K(x) = 0,2x² + 10x + 1 000 kroner, og prisen er 60 kr. Overskuddet er størst for x = 125. Hvor stort er det?

Vis løsning på oppgave 3

O(125) = −0,2 · 125² + 50 · 125 − 1 000 = 2 125 kr.

Fasit: 2 125 kr

Fra leksjon 5.2 Størst overskudd · Se forklaringen i videoen

Oppgave 4

O(x) = −0,2x² + 60x − 1 000 har toppunkt i x = 150. Bedriften kan lage høyst 80 enheter. Hvor mange bør den lage?

Vis løsning på oppgave 4

O vokser helt fram til x = 150, så innenfor 0 til 80 er overskuddet størst i endepunktet x = 80.

Fasit: 80 enheter

Fra leksjon 5.2 Størst overskudd · Se forklaringen i videoen

Oppgave 5

K(x) = 0,2x² + 12x + 1 000 kroner. Hva koster det å lage 40 enheter?

Vis løsning på oppgave 5

K(40) = 0,2 · 40² + 12 · 40 + 1 000 = 320 + 480 + 1 000 = 1 800 kr.

Fasit: 1 800 kr

Fra leksjon 5.1 Kostnad, inntekt og overskudd · Se forklaringen i videoen

Middels vanskelige

Oppgave 6

Hvorfor er overskuddet størst der grenseinntekten er lik grensekostnaden?

  1. A: Fordi prisen da er lik null
  2. B: Fordi én enhet til da gir like mye inntekt som den koster
  3. C: Fordi kostnaden da er minst
  4. D: Fordi inntekten da er størst
Vis løsning på oppgave 6

Så lenge I′(x) > K′(x), øker overskuddet med én enhet til.

Der I′(x) = K′(x), er O′(x) = 0.

Fasit: B: Fordi én enhet til da gir like mye inntekt som den koster

Fra leksjon 5.2 Størst overskudd · Se forklaringen i videoen

Oppgave 7

K(x) = 0,5x² + 20x + 500 kroner. Hva koster det å lage 50 enheter?

Vis løsning på oppgave 7

K(50) = 0,5 · 50² + 20 · 50 + 500 = 1 250 + 1 000 + 500 = 2 750 kr.

Fasit: 2 750 kr

Fra leksjon 5.1 Kostnad, inntekt og overskudd · Se forklaringen i videoen

Oppgave 8

K(x) = 0,1x² + 5x + 500 kroner. Finn enhetskostnaden når x = 50.

Vis løsning på oppgave 8

K(50) = 1 000.

A(50) = 1 000 delt på 50 = 20 kr per enhet.

Fasit: 20 kr per enhet

Fra leksjon 5.1 Kostnad, inntekt og overskudd · Se forklaringen i videoen

Oppgave 9

K(x) = 0,2x² + 10x + 1 000 kroner. Finn enhetskostnaden når x = 40.

Vis løsning på oppgave 9

K(40) = 1 720.

A(40) = 1 720 delt på 40 = 43 kr per enhet.

Fasit: 43 kr per enhet

Fra leksjon 5.1 Kostnad, inntekt og overskudd · Se forklaringen i videoen

Oppgave 10

K(x) = 0,5x² + 20x + 1 000 kroner, og prisen er 170 kr per enhet. Hvor mange enheter gir størst overskudd?

Vis løsning på oppgave 10

O(x) = −0,5x² + 150x − 1 000.

O′(x) = −x + 150 = 0 gir x = 150.

Fasit: 150 enheter

Fra leksjon 5.2 Størst overskudd · Se forklaringen i videoen

Mer krevende

Oppgave 11

Du har 60 meter gjerde til en rektangulær innhegning med gjerde på alle fire sider. Hvor stort kan arealet bli?

Vis løsning på oppgave 11

A(x) = x(30 − x).

A′(x) = 30 − 2x = 0 gir x = 15.

Det blir et kvadrat med side 15, og arealet 225 m².

Fasit: 225 m²

Fra leksjon 5.3 Optimering med areal og volum · Se forklaringen i videoen

Oppgave 12

K(x) = 0,5x² + 10x + 500 kroner, og prisen er 50 kr per enhet. Finn overskuddet når x = 40.

Vis løsning på oppgave 12

I(40) = 50 · 40 = 2 000.

K(40) = 1 700.

O(40) = 2 000 − 1 700 = 300 kr.

Fasit: 300 kr

Fra leksjon 5.1 Kostnad, inntekt og overskudd · Se forklaringen i videoen

Oppgave 13

Du har 40 meter gjerde og lager en rektangulær innhegning inntil en vegg, med gjerde på tre sider. Hvor stort kan arealet bli?

Vis løsning på oppgave 13

A(x) = x(40 − 2x) = 40x − 2x².

A′(x) = 40 − 4x = 0 gir x = 10.

Sidene blir 10 og 20 meter, og arealet 200 m².

Fasit: 200 m²

Fra leksjon 5.3 Optimering med areal og volum · Se forklaringen i videoen

Oppgave 14

Fra en kvadratisk plate med side 24 cm klipper du bort kvadrater med side x i hjørnene og bretter opp en åpen eske. V(x) = x(24 − 2x)². Hvilken x gir størst volum?

Vis løsning på oppgave 14

V′(x) = (24 − 2x)² − 4x(24 − 2x) = (24 − 2x)(24 − 6x).

Den er null for x = 4 (x = 12 gir volum null).

Volumet er størst for x = 4 cm.

Fasit: 4 cm

Fra leksjon 5.3 Optimering med areal og volum · Se forklaringen i videoen

Oppgave 15

K(x) = 0,2x² + 10x + 300 kroner, og prisen er 80 kr per enhet. Finn overskuddet når x = 20.

Vis løsning på oppgave 15

I(20) = 80 · 20 = 1 600.

K(20) = 580.

O(20) = 1 600 − 580 = 1 020 kr.

Fasit: 1 020 kr

Fra leksjon 5.1 Kostnad, inntekt og overskudd · Se forklaringen i videoen

Fasit

Vis fasit til alle oppgavene
  1. Oppgave 1: D: 0 < x < 40
  2. Oppgave 2: 600 kr
  3. Oppgave 3: 2 125 kr
  4. Oppgave 4: 80 enheter
  5. Oppgave 5: 1 800 kr
  6. Oppgave 6: B: Fordi én enhet til da gir like mye inntekt som den koster
  7. Oppgave 7: 2 750 kr
  8. Oppgave 8: 20 kr per enhet
  9. Oppgave 9: 43 kr per enhet
  10. Oppgave 10: 150 enheter
  11. Oppgave 11: 225 m²
  12. Oppgave 12: 300 kr
  13. Oppgave 13: 200 m²
  14. Oppgave 14: 4 cm
  15. Oppgave 15: 1 020 kr

Oppgavene hører til leksjonene 5.1–5.3 i modulen Optimering og modeller, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i S1, og bruk formelarket for S1 når du øver.

Les også

Oppgavene er laget av Sophus med de samme oppgavemalene som i kurset, og løsningene er kontrollert av en regnekontroll. Ser du likevel en feil, si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.