Hopp til innholdet

Grenseverdier: oppgaver med fasit

Matematikk S1 · Vg2, samfunnsfaglig matematikk · 15 oppgaver · eksamen: del 1 og del 2

15 oppgaver i grenseverdier i S1, med løsning steg for steg og fasit. Prøv selv først, og trykk «Vis løsning» når du vil sjekke svaret. Oppgavene er sortert fra kort til lang løsning.

Lær dette i Sophus: 3.1 Hva er en grenseverdi?, 3.2 Grenseverdier når x går mot uendelig i Matematikk S1, med video og øving med nye tall hver gang. Se leksjonen

Lettere oppgaver

Oppgave 1

f(x) = x² − 4 delt på x − 2 er ikke definert for x = 2. Finnes grenseverdien når x går mot 2?

  1. A: Ja, den er 4
  2. B: Ja, den er 0
  3. C: Nei, fordi f(2) ikke finnes
  4. D: Ja, den er 2
Vis løsning på oppgave 1

Da trenger vi ikke f(2).

Forkorter vi, får vi x + 2, som går mot 4.

Fasit: A: Ja, den er 4

Fra leksjon 3.1 Hva er en grenseverdi? · Se forklaringen i videoen

Oppgave 2

Finn lim (x → ∞) x + 1 delt på x² + 1.

Vis løsning på oppgave 2

Del alle ledd på x²: telleren blir 1 delt på x + 1 delt på x², som går mot 0, og nevneren går mot 1.

Grenseverdien er 0.

Fasit: 0

Fra leksjon 3.2 Grenseverdier når x går mot uendelig · Se forklaringen i videoen

Oppgave 3

Grenseverdien til f(x) når x går mot uendelig er 3. Hva betyr det for grafen?

  1. A: Linjen y = 3 er en vannrett asymptote
  2. B: Grafen krysser aldri y = 3
  3. C: Linjen x = 3 er en loddrett asymptote
  4. D: f(3) = 0
Vis løsning på oppgave 3

Da er y = 3 en vannrett asymptote: grafen nærmer seg linjen når x blir stor.

Fasit: A: Linjen y = 3 er en vannrett asymptote

Fra leksjon 3.2 Grenseverdier når x går mot uendelig · Se forklaringen i videoen

Oppgave 4

Finn lim (x → ∞) 3x + 8 delt på x² + 1.

Vis løsning på oppgave 4

Del alle ledd på x²: telleren blir 3 delt på x + 8 delt på x², som går mot 0, og nevneren går mot 1.

Grenseverdien er 0.

Fasit: 0

Fra leksjon 3.2 Grenseverdier når x går mot uendelig · Se forklaringen i videoen

Oppgave 5

Finn lim (x → −2) (x² + 4x + 6).

Vis løsning på oppgave 5

Da setter vi inn x = −2: (−2)² + 4 · (−2) + 6 = 2.

Fasit: 2

Fra leksjon 3.1 Hva er en grenseverdi? · Se forklaringen i videoen

Middels vanskelige

Oppgave 6

Finn lim (x → ∞) x² − 4x delt på 2x² + 4.

Vis løsning på oppgave 6

Del alle ledd på x².

Leddene med 1 delt på x og 1 delt på x² går mot 0, så grenseverdien er 1 delt på 2 = 0,5.

Fasit: 0,5

Fra leksjon 3.2 Grenseverdier når x går mot uendelig · Se forklaringen i videoen

Oppgave 7

En bedrift har faste kostnader på 10 000 kr og 50 kr per enhet. Gjennomsnittskostnaden er A(x) = 10 000 + 50x delt på x. Hva går A(x) mot når x blir svært stor?

Vis løsning på oppgave 7

A(x) = 10 000 delt på x + 50.

Leddet 10 000 delt på x går mot 0, så A(x) går mot 50 kr.

Fasit: 50 kr

Fra leksjon 3.2 Grenseverdier når x går mot uendelig · Se forklaringen i videoen

Oppgave 8

Finn lim (x → 4) (x² − 3x + 5).

Vis løsning på oppgave 8

Da setter vi inn x = 4: 4² − 3 · 4 + 5 = 9.

Fasit: 9

Fra leksjon 3.1 Hva er en grenseverdi? · Se forklaringen i videoen

Oppgave 9

Finn lim (x → ∞) 5x² − 2x delt på 2x² + 5.

Vis løsning på oppgave 9

Del alle ledd på x².

Leddene med 1 delt på x og 1 delt på x² går mot 0, så grenseverdien er 5 delt på 2 = 2,5.

Fasit: 2,5

Fra leksjon 3.2 Grenseverdier når x går mot uendelig · Se forklaringen i videoen

Oppgave 10

En bedrift har faste kostnader på 20 000 kr og 50 kr per enhet. Gjennomsnittskostnaden er A(x) = 20 000 + 50x delt på x. Hva går A(x) mot når x blir svært stor?

Vis løsning på oppgave 10

A(x) = 20 000 delt på x + 50.

Leddet 20 000 delt på x går mot 0, så A(x) går mot 50 kr.

Fasit: 50 kr

Fra leksjon 3.2 Grenseverdier når x går mot uendelig · Se forklaringen i videoen

Mer krevende

Oppgave 11

Finn lim (x → 4) (x² − x).

Vis løsning på oppgave 11

Da setter vi inn x = 4: 4² − 1 · 4 + 0 = 12.

Fasit: 12

Fra leksjon 3.1 Hva er en grenseverdi? · Se forklaringen i videoen

Oppgave 12

Finn lim (x → 3) x² − 9 delt på x − 3.

Vis løsning på oppgave 12

Innsetting gir 0 delt på 0.

x² − 9 = (x + 3)(x − 3).

Vi forkorter og får x + 3, som gir 3 + 3 = 6.

Fasit: 6

Fra leksjon 3.1 Hva er en grenseverdi? · Se forklaringen i videoen

Oppgave 13

Finn lim (x → 4) x² − 16 delt på x − 4.

Vis løsning på oppgave 13

Innsetting gir 0 delt på 0.

Telleren er (x − 4)(x + 4).

Vi forkorter (x − 4) og setter inn x = 4 i (x + 4): 4 + 4 = 8.

Fasit: 8

Fra leksjon 3.1 Hva er en grenseverdi? · Se forklaringen i videoen

Oppgave 14

Finn lim (x → −8) x² − 64 delt på x + 8.

Vis løsning på oppgave 14

Innsetting gir 0 delt på 0.

x² − 64 = (x − 8)(x + 8).

Vi forkorter og får x − 8, som gir −8 − 8 = −16.

Fasit: −16

Fra leksjon 3.1 Hva er en grenseverdi? · Se forklaringen i videoen

Oppgave 15

Finn lim (x → −3) x² + 8x + 15 delt på x + 3.

Vis løsning på oppgave 15

Innsetting gir 0 delt på 0.

Telleren er (x + 3)(x + 5).

Vi forkorter (x + 3) og setter inn x = −3 i (x + 5): −3 + 5 = 2.

Fasit: 2

Fra leksjon 3.1 Hva er en grenseverdi? · Se forklaringen i videoen

Fasit

Vis fasit til alle oppgavene
  1. Oppgave 1: A: Ja, den er 4
  2. Oppgave 2: 0
  3. Oppgave 3: A: Linjen y = 3 er en vannrett asymptote
  4. Oppgave 4: 0
  5. Oppgave 5: 2
  6. Oppgave 6: 0,5
  7. Oppgave 7: 50 kr
  8. Oppgave 8: 9
  9. Oppgave 9: 2,5
  10. Oppgave 10: 50 kr
  11. Oppgave 11: 12
  12. Oppgave 12: 6
  13. Oppgave 13: 8
  14. Oppgave 14: −16
  15. Oppgave 15: 2

Oppgavene hører til leksjonene 3.1–3.2 i modulen Grenseverdier og kontinuitet, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i S1, og bruk formelarket for S1 når du øver.

Les også

Oppgavene er laget av Sophus med de samme oppgavemalene som i kurset, og løsningene er kontrollert av en regnekontroll. Ser du likevel en feil, si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.