Binomisk fordeling: når og hvordan

19. oktober 2026 · 3 min lesing · S1 og S2

Binomisk fordeling brukes når du gjentar det samme forsøket mange ganger og teller hvor ofte noe skjer. Det viktigste er å kjenne igjen situasjonen. Deretter er det én formel, og et par triks for «minst» og «høyst».

Hvor i matten kommer den?

Binomisk fordeling hører til S-matten. I S1 sier læreplanen at du skal utforske og tolke binomiske og hypergeometriske fordelinger. I S2 bruker du den binomiske fordelingen videre: forventning og standardavvik, normaltilnærming og hypotesetesting. I R1 og R2 er den ikke med i læreplanen.

Når er et forsøk binomisk?

Sjekk fire ting:

Du gjør det samme delforsøket n ganger.
Hvert delforsøk har to utfall: det du teller («suksess»), eller ikke.
Sannsynligheten for suksess, p, er den samme hver gang.
Delforsøkene er uavhengige av hverandre.

Den stokastiske variabelen X er antall suksesser. Den kan ha verdiene 0, 1, 2 og så videre opp til n.

Binomisk: du kaster en mynt 20 ganger og teller kron. Du gjetter på hvert spørsmål i en flervalgsprøve og teller riktige svar.

Ikke binomisk: du trekker 5 elever fra en klasse på 25 og teller jenter. Når en elev er trukket, kan hun ikke trekkes igjen, så sannsynligheten endrer seg fra trekk til trekk. Det er en hypergeometrisk fordeling.

Formelen

P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^{n − k}

p^k er sannsynligheten for k suksesser i en bestemt rekkefølge.
(1 − p)^{n − k} er sannsynligheten for at resten ikke er suksess.
C(n, k) er antall måter å plassere de k suksessene på blant de n forsøkene. På kalkulatoren heter knappen ofte nCr.

Eksempel: å gjette på en prøve

En prøve har 10 flervalgsspørsmål med fire svaralternativer hver. Du gjetter på alle. Da er n = 10 og p = 14 = 0,25, og X er antall riktige.

a) Hva er sannsynligheten for nøyaktig 3 riktige?

P(X = 3) = C(10, 3) · 0,25³ · 0,75⁷ = 120 · 0,015625 · 0,1335 ≈ 0,250

Det er omtrent 25 %.

b) Hva er sannsynligheten for minst ett riktig?

«Minst ett» er det motsatte av «ingen». Det er mye raskere å regne ut:

P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,75¹⁰ ≈ 1 − 0,056 = 0,944

c) Hva er sannsynligheten for høyst 2 riktige?

«Høyst 2» betyr 0, 1 eller 2. Regn ut hver av dem og legg sammen:

P(X = 0) ≈ 0,056
P(X = 1) = 10 · 0,25 · 0,75⁹ ≈ 0,188
P(X = 2) = 45 · 0,25² · 0,75⁸ ≈ 0,282
P(X ≤ 2) ≈ 0,056 + 0,188 + 0,282 = 0,526

Da er sannsynligheten for mer enn 2 riktige 1 − 0,526 = 0,474. Ved ren gjetting er det altså litt mer sannsynlig å få høyst 2 riktige enn å få flere.

Forventning og standardavvik (S2)

I S2 bruker du disse formlene for en binomisk variabel:

E(X) = n · p · SD(X) = √(n · p · (1 − p))

I eksempelet er E(X) = 10 · 0,25 = 2,5. Gjetter mange elever på samme prøve, får de i gjennomsnitt 2,5 riktige. Standardavviket er √(10 · 0,25 · 0,75) = √1,875 ≈ 1,37.

Når n er stor, kan du bruke normalfordelingen som en tilnærming, med μ = np og σ = √(np(1 − p)). Se normalfordeling og z-tabellen. I hypotesetesting i S2 regner du ut sannsynligheter som P(X ≥ k) for å se om et resultat er overraskende hvis nullhypotesen er sann.

Uten datamaskin fra 2027

Fra våren 2027 er del 2 av eksamen uten datamaskin, så du har ikke et sannsynlighetsverktøy i GeoGebra. Du regner med formelen og en enkel vitenskapelig kalkulator. Derfor:

Lær deg nCr-knappen på din kalkulator. De fleste vitenskapelige kalkulatorer har den, men sjekk din.
Bruk den motsatte hendelsen når det gir færre ledd, slik som i b).
Skriv opp hvert ledd før du legger sammen. Da ser sensor hva du har gjort, og du finner feil lettere.

Vanlige feil

Glemme C(n, k). Uten den regner du bare med én bestemt rekkefølge.
Feil eksponent på 1 − p. Eksponentene skal til sammen bli n.
Blande «minst» og «høyst», eller < og ≤. Skriv opp hvilke verdier av X som er med, før du regner.
Bruke binomisk fordeling når du trekker uten tilbakelegging fra en liten gruppe. Da er det hypergeometrisk.

Kilder

Les også

Ser du en feil? Si fra, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.